Problema 8 Em cada item, determine a equação da elipse que satisfaz as condições dadas.
Centro C=(0,0), eixo menor 6 , focos no eixo x e passando por P=(4,-1)

Passo 1

O enunciado dá uma elipse de centro em (0,0), com eixo menor de comprimento 6, focos sobre o eixo x e que passa por P=(4,-1). O conteúdo é a forma padrão da elipse centrada na origem com eixo maior horizontal, cuja equação será
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
onde precisamos determinar b, a e então c, lembrando que c^2 = a^2 - b^2.

Passo 2

O eixo menor tem comprimento 2b = 6, logo
b = 3.

Passo 3

Substituímos b=3 na forma geral da elipse:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1.

Passo 4

Como a curva passa por P=(4,-1), inserimos essas coordenadas na equação:
\frac{4^2}{a^2} + \frac{(-1)^2}{3^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{16}{a^2} + \frac{1}{9} = 1.
Resolvendo para a^2:
\frac{16}{a^2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{16\cdot9}{8} = 18.

Passo 5

Calculamos a distância focal c por
c^2 = a^2 - b^2 = 18 - 9 = 9 \quad\Longrightarrow\quad c = 3,
confirmando os focos em (\pm3,0).

Passo 6

Portanto, a equação da elipse é
\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1.

Resposta

\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1

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