Problema 10 Conhecendo a equação geral das cônicas A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0, determine os coeficientes A, B, C e use o discriminante B^{2}-4 A C para decidir, em cada item abaixo, qual cônica é descrita pela equação dada.
x^{2}-x y+y^{2}-2=0

Passo 1

O enunciado pede para, dada a forma geral das cônicas
A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0,
identificar os coeficientes A, B e C e usar o discriminante
\Delta = B^{2} - 4AC
para classificar a curva. Aqui a equação é
x^{2} - x y + y^{2} - 2 = 0.

Passo 2

Comparando com A x^{2} + B x y + C y^{2} + \cdots = 0, vemos que
A = 1, B = -1 e C = 1.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = B^{2} - 4AC = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3.

Passo 4

Como \Delta < 0 e A e C têm o mesmo sinal, a curva é uma elipse (a presença de B\neq0 indica apenas que ela está rotacionada).

Resposta

Elipse.

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