Problema 7 Cada item a seguir contém a equação de uma elipse. Determine, em cada caso, os vértices V_{1} e V_{2}, os focos F_{1} e F_{2} e a excentricidade da elipse dada.
16 x^{2}+36 y^{2}=36

Passo 1

O enunciado dá a elipse centrada na origem com equação
16x^{2}+36y^{2}=36
e pede os vértices V_{1},V_{2}, os focos F_{1},F_{2} e a excentricidade. Vamos precisar escrever a equação na forma padrão
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
identificar a e b, calcular c tal que c^{2}=a^{2}-b^{2} e então achar vértices, focos e excentricidade e=c/a.

Passo 2

Dividimos ambos os lados de 16x^{2}+36y^{2}=36 por 36, obtendo
\frac{16x^{2}}{36}+\frac{36y^{2}}{36}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4x^{2}}{9}+y^{2}=1.
Escrevendo em denominares padronizados,
\frac{x^{2}}{\,9/4\,}+\frac{y^{2}}{1}=1.

Passo 3

Comparando com \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, temos
a^{2}=\frac{9}{4},\quad b^{2}=1,
logo
a=\frac{3}{2},\quad b=1.
Como a>b, o eixo maior é horizontal e o centro é (0,0).

Passo 4

Os vértices estão a uma distância a do centro ao longo do eixo maior (eixo x). Então
V_{1}=\bigl(-\tfrac{3}{2},0\bigr), \quad V_{2}=\bigl(\tfrac{3}{2},0\bigr).

Passo 5

Calculamos c usando c^{2}=a^{2}-b^{2}:
c^{2}=\frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}, \quad c=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Os focos ficam em (\pm c,0), ou seja
F_{1}=\bigl(-\tfrac{\sqrt{5}}{2},0\bigr), \quad F_{2}=\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2},0\bigr).

Passo 6

A excentricidade é
e=\frac{c}{a} =\frac{\tfrac{\sqrt{5}}{2}}{\tfrac{3}{2}} =\frac{\sqrt{5}}{3}.

Resposta

Os vértices são
V_{1}=\Bigl(-\tfrac{3}{2},0\Bigr), \quad V_{2}=\Bigl(\tfrac{3}{2},0\Bigr),
os focos são
F_{1}=\Bigl(-\tfrac{\sqrt{5}}{2},0\Bigr), \quad F_{2}=\Bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2},0\Bigr),
e a excentricidade é
e=\frac{\sqrt{5}}{3}.

Exercícios relacionados