Problema 11 : Dada a EDO homogênea de 2^{\mathrm{a}} ordem
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}-y=0
(a) Encontre duas soluções particulares da EDO dada.
(b) Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 3\frac{dy}{dx} - y = 0
e pede duas coisas: (a) encontrar duas soluções particulares da EDO dada; (b) encontrar a solução geral da EDO dada.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes; é de segunda ordem, portanto sua solução geral dependerá de duas constantes arbitrárias. Nada mais é pedido além de soluções da própria EDO (não há termos independentes, condições iniciais ou forçamento).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente testar soluções do tipo exponencial. A razão é que derivadas de exponenciais são exponenciais multiplicadas por constantes, o que transforma a EDO em uma equação algébrica para o expoente. Vamos usar essa ideia: supor uma solução da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é uma constante (número que vamos determinar). Aqui r representa a taxa de crescimento/decrescimento da solução exponencial; pode ser real ou complexo dependendo da equação.
Passo 3
Substituindo y(x)=e^{rx} na EDO: calcule as derivadas
Cada raiz r_{1} e r_{2} gera uma solução exponencial independente da EDO homogênea. Assim duas soluções particulares (no sentido de soluções específicas da equação homogênea) são
Explicação: porque substituindo y_{1} ou y_{2} na EDO a igualdade é satisfeita (já vimos isso ao derivar a equação característica).
Passo 6
Verificar que as duas soluções são linearmente independentes (por que isso importa?): para formar a solução geral de uma EDO de segunda ordem precisamos de duas soluções linearmente independentes. Uma forma rápida de verificar independência é calcular o wronskiano
Como r_{2}-r_{1}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}-\frac{3+\sqrt{13}}{2}=-\sqrt{13}\neq 0 e e^{(r_{1}+r_{2})x}\neq 0, o wronskiano é não nulo para todo x. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.]
Passo 7
Concluir a forma da solução geral: para uma equação linear homogênea de segunda ordem com duas soluções independentes y_{1} e y_{2}, a solução geral é combinação linear dessas duas:
y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais, se buscarmos soluções reais). Substituindo as y_{1} e y_{2} encontradas: