Problema 11 : Dada a EDO homogênea de 2^{\mathrm{a}} ordem
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}-y=0
(a) Encontre duas soluções particulares da EDO dada.
(b) Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 3\frac{dy}{dx} - y = 0
e pede duas coisas: (a) encontrar duas soluções particulares da EDO dada; (b) encontrar a solução geral da EDO dada.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a equação é linear, homogênea e com coeficientes constantes; é de segunda ordem, portanto sua solução geral dependerá de duas constantes arbitrárias. Nada mais é pedido além de soluções da própria EDO (não há termos independentes, condições iniciais ou forçamento).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes é muito eficiente testar soluções do tipo exponencial. A razão é que derivadas de exponenciais são exponenciais multiplicadas por constantes, o que transforma a EDO em uma equação algébrica para o expoente. Vamos usar essa ideia: supor uma solução da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é uma constante (número que vamos determinar). Aqui r representa a taxa de crescimento/decrescimento da solução exponencial; pode ser real ou complexo dependendo da equação.

Passo 3

Substituindo y(x)=e^{rx} na EDO: calcule as derivadas
\frac{dy}{dx}=r e^{rx},\qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação original obtemos
r^{2} e^{rx} - 3 r e^{rx} - e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero para nenhum x, podemos dividir por e^{rx} e ficar com a equação algébrica (chamada equação característica)
r^{2} - 3r - 1 = 0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática característica: use a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Para a equação
r^{2}-3r-1=0,
os coeficientes são a=1, b=-3, c=-1. A fórmula dá
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)}}{2} =\frac{3\pm\sqrt{9+4}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}.
Portanto obtemos duas raízes reais distintas:
r_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2},\qquad r_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}.

Passo 5

Cada raiz r_{1} e r_{2} gera uma solução exponencial independente da EDO homogênea. Assim duas soluções particulares (no sentido de soluções específicas da equação homogênea) são
y_{1}(x)=e^{r_{1}x}=e^{\frac{3+\sqrt{13}}{2}x}, \qquad y_{2}(x)=e^{r_{2}x}=e^{\frac{3-\sqrt{13}}{2}x}.
Explicação: porque substituindo y_{1} ou y_{2} na EDO a igualdade é satisfeita (já vimos isso ao derivar a equação característica).

Passo 6

Verificar que as duas soluções são linearmente independentes (por que isso importa?): para formar a solução geral de uma EDO de segunda ordem precisamos de duas soluções linearmente independentes. Uma forma rápida de verificar independência é calcular o wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix}.
Calculemos: y_{1}'=r_{1}e^{r_{1}x} e y_{2}'=r_{2}e^{r_{2}x}. Então
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} e^{r_{1}x} & e^{r_{2}x}\\[4pt] r_{1}e^{r_{1}x} & r_{2}e^{r_{2}x} \end{vmatrix} = e^{(r_{1}+r_{2})x}(r_{2}-r_{1}).
Como r_{2}-r_{1}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}-\frac{3+\sqrt{13}}{2}=-\sqrt{13}\neq 0 e e^{(r_{1}+r_{2})x}\neq 0, o wronskiano é não nulo para todo x. Logo y_{1} e y_{2} são linearmente independentes.]

Passo 7

Concluir a forma da solução geral: para uma equação linear homogênea de segunda ordem com duas soluções independentes y_{1} e y_{2}, a solução geral é combinação linear dessas duas:
y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais, se buscarmos soluções reais). Substituindo as y_{1} e y_{2} encontradas:
y(x)=C_{1}e^{\frac{3+\sqrt{13}}{2}x}+C_{2}e^{\frac{3-\sqrt{13}}{2}x}.
Essa é a solução geral da EDO.

Resposta

(a) y_{1}(x)=e^{\frac{3+\sqrt{13}}{2}x} \quad e \quad y_{2}(x)=e^{\frac{3-\sqrt{13}}{2}x}
(b) y(x)=C_{1}e^{\frac{3+\sqrt{13}}{2}x}+C_{2}e^{\frac{3-\sqrt{13}}{2}x}

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