Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui são as Transformadas de Laplace, que ajudam a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução final.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
- A transformada de
é - A transformada de
é - A transformada de
é
Aplicando isso na nossa equação:
Então:
Passo 3
Agora, substituímos as condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos juntar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 5
Agora, precisamos simplificar a fração. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, temos:
Passo 6
Para encontrar
, fazemos a transformada inversa de Laplace. Vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, resolvemos para
e
. Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Para
:
- Para
:
Então, temos:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
Sabemos que:
Então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: