Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0 ; y(0)=0, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - 3y' + 2y = 0
Com as condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = -1
O conteúdo que vamos usar aqui são as Transformadas de Laplace, que ajudam a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação e usar as condições iniciais para encontrar a solução final.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial. Lembrando que:
  • A transformada de y''(t) é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
  • A transformada de y'(t) é s Y(s) - y(0)
  • A transformada de y(t) é Y(s)
Aplicando isso na nossa equação:
Ly'' - 3Ly' + 2Ly = L0
Então:
(s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)) - 3(s Y(s) - y(0)) + 2Y(s) = 0

Passo 3

Agora, substituímos as condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = -1 na equação:
(s^2 Y(s) - s cdot 0 - (-1)) - 3(s Y(s) - 0) + 2Y(s) = 0
Simplificando:
s^2 Y(s) + 1 - 3s Y(s) + 2Y(s) = 0

Passo 4

Vamos juntar os termos que contêm Y(s):
(s^2 - 3s + 2) Y(s) + 1 = 0
Isolando Y(s):
Y(s) = -1s^2 - 3s + 2

Passo 5

Agora, precisamos simplificar a fração. Primeiro, fatoramos o denominador:
s^2 - 3s + 2 = (s - 1)(s - 2)
Então, temos:
Y(s) = -1(s - 1)(s - 2)

Passo 6

Para encontrar y(t), fazemos a transformada inversa de Laplace. Vamos decompor a fração em frações parciais:
-1(s - 1)(s - 2) = As - 1 + Bs - 2
Multiplicando ambos os lados por (s - 1)(s - 2):
-1 = A(s - 2) + B(s - 1)

Passo 7

Agora, resolvemos para A e B. Escolhemos valores de s que simplificam a equação:
  • Para s = 2:
-1 = A(2 - 2) + B(2 - 1) Rightarrow -1 = B(1) Rightarrow B = -1
  • Para s = 1:
-1 = A(1 - 2) + B(1 - 1) Rightarrow -1 = A(-1) Rightarrow A = 1
Então, temos:
Y(s) = 1s - 1 - 1s - 2

Passo 8

Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
y(t) = L^-11s - 1 - L^-11s - 2
Sabemos que:
L^-11s - a = e^a t
Então:
y(t) = e^t - e^2 t

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^t - e^2 t

Exercícios relacionados