Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime-y=5 sen 2 x ; y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando Transformadas de Laplace. O enunciado pede para resolver a equação y'' - y = 5 sin(2x) com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = -1 . Para isso, vamos precisar conhecer as Transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais de segunda ordem. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de y'' é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) e a de y é Y(s) , onde Y(s) é a transformada de y(x) .
Então, aplicando a Transformada de Laplace:
Ly'' - Ly = L5 sin(2x)
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - Y(s) = 5 cdot 2s^2 + 4

Passo 3

Substituímos as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = -1 na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - (-1) - Y(s) = 10s^2 + 4
Simplificando:
s^2 Y(s) - s + 1 - Y(s) = 10s^2 + 4

Passo 4

Vamos isolar Y(s) nos termos da esquerda:
Y(s)(s^2 - 1) = 10s^2 + 4 + s - 1
Então:
Y(s) = 10s^2 + 4 + s - 1s^2 - 1

Passo 5

Agora, precisamos simplificar essa expressão para facilitar a aplicação da Transformada Inversa. Vamos separar em frações parciais:
Y(s) = 10 + (s - 1)(s^2 + 4)(s^2 - 1)(s^2 + 4)
Expandindo o numerador:
10 + (s^3 + 4s - s^2 - 4) = s^3 - s^2 + 4s + 6
Então:
Y(s) = s^3 - s^2 + 4s + 6(s^2 - 1)(s^2 + 4)

Passo 6

Agora, vamos decompor em frações parciais. Observamos que s^2 - 1 = (s - 1)(s + 1) , então temos fatores lineares e quadráticos:
s^3 - s^2 + 4s + 6(s - 1)(s + 1)(s^2 + 4) = As - 1 + Bs + 1 + Cs + Ds^2 + 4
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
s^3 - s^2 + 4s + 6 = A(s + 1)(s^2 + 4) + B(s - 1)(s^2 + 4) + (Cs + D)(s^2 - 1)

Passo 7

Para encontrar os coeficientes A, B, C, D , escolhemos valores estratégicos para s .
  • Para s = 1 :
1 - 1 + 4 + 6 = A(2)(5) Rightarrow 10 = 10A Rightarrow A = 1
  • Para s = -1 :
-1 - 1 - 4 + 6 = B(-2)(5) Rightarrow 0 = -10B Rightarrow B = 0
Agora, substituímos A = 1 e B = 0 na equação original:
s^3 - s^2 + 4s + 6 = (s + 1)(s^2 + 4) + (Cs + D)(s^2 - 1)
Expandindo:
s^3 - s^2 + 4s + 6 = s^3 + s^2 + 4s + 4 + Cs^3 + Ds^2 - Cs - D
Agrupando termos semelhantes:
s^3 - s^2 + 4s + 6 = (1 + C)s^3 + (1 + D)s^2 + (4 - C)s + (4 - D)
Igualando os coeficientes:
1 + C = 1 1 + D = -1 4 - C = 4 4 - D = 6
Resolvendo:
C = 0, D = -2

Passo 8

Agora que temos todos os coeficientes, a equação de frações parciais fica:
Y(s) = 1s - 1 + 0s + 1 + 0 cdot s - 2s^2 + 4 = 1s - 1 - 2s^2 + 4

Passo 9

Aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(x) :
y(x) = L^-11s - 1 - 2 L^-11s^2 + 4
Sabemos que:
L^-11s - a = e^a x, L^-11s^2 + omega^2 = sin(omega x)omega
Aplicando:
y(x) = e^x - 2 cdot sin(2x)2 = e^x - sin(2x)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = e^x - sin(2x)

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