Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais usando Transformadas de Laplace. O enunciado pede para resolver a equação com as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar conhecer as Transformadas de Laplace e como aplicá-las em equações diferenciais de segunda ordem. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que a Transformada de Laplace de é e a de é , onde é a transformada de .
Então, aplicando a Transformada de Laplace:
Passo 3
Substituímos as condições iniciais e na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos isolar nos termos da esquerda:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos simplificar essa expressão para facilitar a aplicação da Transformada Inversa. Vamos separar em frações parciais:
Expandindo o numerador:
Então:
Passo 6
Agora, vamos decompor em frações parciais. Observamos que , então temos fatores lineares e quadráticos:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum:
Passo 7
Para encontrar os coeficientes , escolhemos valores estratégicos para .
Para :
Para :
Agora, substituímos e na equação original:
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo:
C = 0, D = -2
Passo 8
Agora que temos todos os coeficientes, a equação de frações parciais fica: