Problema 11

Considere o conjunto A dos múltiplos inteiros de 5, entre 100 e 1000, formados de algarismos distintos. Seja B o subconjunto de A formado pelos números cuja soma dos valores de seus algarismos é 9. Entâo, a soma do menor nümero ímpar de B com o maior nùmero par de B é:

Passo 1

O enunciado define o conjunto A como os números entre 100 e 1000 que são múltiplos de 5 e têm algarismos distintos. Em seguida, B\subset A são aqueles cuja soma dos algarismos é 9. Queremos a soma do menor número ímpar de B com o maior número par de B.

Passo 2

Para encontrar os elementos ímpares de B, note que um múltiplo de 5 ímpar termina em 5. Seja o número \overline{ht5}. Então
h + t + 5 = 9 \quad \Longrightarrow \quad h + t = 4
com h \in \{1, \dots, 9\}, t \in \{0, \dots, 9\} e todos os dígitos h, t, 5 distintos.

Passo 3

As soluções de h+t=4 com h\ge1 são (h,t)=(1,3),(3,1),(2,2),(4,0). Descartamos (2,2) pois repete dígito e (0,4) pois h não pode ser zero. Assim os ímpares em B são
135,\;315,\;405,
e o menor ímpar é 135.

Passo 4

Para os pares de B, o número termina em 0 e escreve-se \overline{ht0}. Então
h+t+0=9\quad\Longrightarrow\quad h+t=9
com h\in\{1,\dots,9\}, t\in\{0,\dots,9\} e dígitos h,t,0 distintos. As soluções com t\neq0 (para evitar repetição com o zero das unidades) são (h,t)=(1,8),(2,7),(3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(7,2),(8,1), gerando
180,\;270,\;360,\;450,\;540,\;630,\;720,\;810.
O maior par é 810.

Passo 5

Somando o menor ímpar e o maior par que estão em B temos
135 + 810 = 945.

Resposta

945

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