Problema 14

Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 såo brasileiros. Os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das trés primeiras colocaçöes, são em número de?

Passo 1

O enunciado diz que temos 9 atletas, dos quais 4 são brasileiros, e queremos contar de quantas maneiras podemos ordenar todos os atletas de forma que pelo menos um brasileiro fique em uma das três primeiras colocações. O conteúdo é permutações e o princípio do complemento.

Passo 2

Calcular o total de ordenações possíveis sem nenhuma restrição. Como são 9 atletas distintos, o número total de permutações é
9! = 362880.

Passo 3

Contar as ordenações em que nenhum brasileiro fica entre as três primeiras colocações (caso complementar). Há 5 atletas não brasileiros, então escolhemos e ordenamos 3 deles para as três primeiras posições:
P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60.
Os 6 atletas restantes ( 4 brasileiros +1 não brasileiro) ocupam as posições 4 a 9 em qualquer ordem, ou seja, 6! = 720. Assim, o número de ordenações sem brasileiros no top 3 é
60 \times 720 = 43200.

Passo 4

Aplicando o princípio do complemento, o número de ordenações com pelo menos um brasileiro no top 3 é
9! \;-\; 43200 \;=\; 362880 \;-\; 43200 \;=\; 319680.

Resposta

319680

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