Problema 14
Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 såo brasileiros. Os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das trés primeiras colocaçöes, são em número de?
Passo 1
O enunciado diz que temos
atletas, dos quais
são brasileiros, e queremos contar de quantas maneiras podemos ordenar todos os atletas de forma que pelo menos um brasileiro fique em uma das três primeiras colocações. O conteúdo é permutações e o princípio do complemento.
Passo 2
Calcular o total de ordenações possíveis sem nenhuma restrição. Como são
atletas distintos, o número total de permutações é
Passo 3
Contar as ordenações em que nenhum brasileiro fica entre as três primeiras colocações (caso complementar). Há
atletas não brasileiros, então escolhemos e ordenamos
deles para as três primeiras posições:
Os
atletas restantes (
brasileiros
não brasileiro) ocupam as posições
a
em qualquer ordem, ou seja,
. Assim, o número de ordenações sem brasileiros no top
é
Passo 4
Aplicando o princípio do complemento, o número de ordenações com pelo menos um brasileiro no top
é