Problema 13
Ana dispunha de papéis com cores diferentes. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e embalou 30 caixinhas de modo a nlo usar a mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 embalagens. A menor quantidade de cores diferentes que ela necessitou utilizar para a confeçāio de todas as embalagens foi igual a?
Ana dispunha de papéis com cores diferentes. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e embalou 30 caixinhas de modo a nlo usar a mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 embalagens. A menor quantidade de cores diferentes que ela necessitou utilizar para a confeçāio de todas as embalagens foi igual a?
Passo 1
O enunciado diz que Ana fez 30 embalagens, cada uma usando uma cor para o papel e outra, diferente, para a fita. Queremos achar o menor número de cores, digamos
, de modo que seja possível montar 30 pares ordenados
com cores distintas.
Passo 2
Com
cores disponíveis, o número total de pares ordenados com cores distintas vem do princípio multiplicativo: para a cor do papel há
escolhas e, em seguida, para a fita há
escolhas (não pode repetir a do papel). Logo o total de embalagens distintas é
Precisamos que
Passo 3
Resolvendo a desigualdade
calculamos o discriminante:
As raízes da equação associada
são
ou seja,
e
. Como
deve ser positivo e inteiro, tomamos a região
.
Resposta
O menor número de cores necessárias é
.