Problema 13
Ana dispunha de papéis com cores diferentes. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses papéis e embalou 30 caixinhas de modo a nlo usar a mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30 embalagens. A menor quantidade de cores diferentes que ela necessitou utilizar para a confeçāio de todas as embalagens foi igual a?

Passo 1

O enunciado diz que Ana fez 30 embalagens, cada uma usando uma cor para o papel e outra, diferente, para a fita. Queremos achar o menor número de cores, digamos c, de modo que seja possível montar 30 pares ordenados (\text{papel},\text{fita}) com cores distintas.

Passo 2

Com c cores disponíveis, o número total de pares ordenados com cores distintas vem do princípio multiplicativo: para a cor do papel há c escolhas e, em seguida, para a fita há c-1 escolhas (não pode repetir a do papel). Logo o total de embalagens distintas é
c(c-1).
Precisamos que
c(c-1)\ge30.

Passo 3

Resolvendo a desigualdade
c^2 - c - 30 \ge 0,
calculamos o discriminante:
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-30) = 1 + 120 = 121.
As raízes da equação associada c^2 - c -30=0 são
c = \frac{1\pm\sqrt{121}}{2} = \frac{1\pm11}{2},
ou seja, c=-5 e c=6. Como c deve ser positivo e inteiro, tomamos a região c\ge6.

Resposta

O menor número de cores necessárias é 6.

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