Problema 11 Considere as matrizes
abaixo
Use as matrizes
e
para verificar a identidade
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade
usando as matrizes fornecidas. As informações dadas são as matrizes
:
Observação: a matriz
foi fornecida no enunciado, mas a verificação pedida envolve apenas
e
.]
Passo 2
Definição e como calcular o produto de matrizes (recapitulando devagar): se
e
são matrizes compatíveis para multiplicação e
, então o elemento na linha
e coluna
de
, denotado
, é dado pela soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha
de
com a coluna
de
:
Vamos aplicar isso para calcular
. Usaremos produto linha·coluna elemento a elemento.
Passo 3
Cálculo de
elemento a elemento:
- Primeiro elemento
: linha 1 de é ; coluna 1 de é .
- Elemento
: linha 1 de com coluna 2 de (que é ):
- Elemento
: linha 2 de é com coluna 1 de :
- Elemento
: linha 2 de com coluna 2 de :
Portanto
Passo 4
Definição de transposta (explicação didática): dada uma matriz
com entradas
, a transposta
é a matriz cuja entrada na posição
é
. Em palavras: linhas viram colunas (ou, equivalentemente, refletimos em relação à diagonal principal).
Vamos aplicar isso a
para obter
. Tomando a matriz que encontramos:
a transposta troca linha por coluna, então
Passo 5
Agora calculemos
e
separadamente usando a definição de transposta.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora multiplicamos
. Usamos novamente a regra do produto linha·coluna.
Calculemos elemento a elemento de
:
-
: linha 1 de é ; coluna 1 de é .
-
: linha 1 de com coluna 2 de (que é ):
-
: linha 2 de é com coluna 1 de :
-
: linha 2 de com coluna 2 de :
Portanto
Passo 7
Comparando os resultados obtidos:
Como as duas matrizes são iguais elemento a elemento, a identidade
fica verificada para as matrizes
e
dadas.]