Problema 11 Considere as matrizes 2 \times 2 abaixo
A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\ 5 & 2\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}2 & -3 \\\ 4 & 4\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{cc}6 & 4 \\\ -2 & -1\end{array}\right]
Use as matrizes A e B para verificar a identidade (A B)^{T}=B^{T} A^{T}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade (AB)^{T}=B^{T}A^{T} usando as matrizes fornecidas. As informações dadas são as matrizes 2\times2:
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] 4 & 4\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}6 & 4 \\[4pt] -2 & -1\end{pmatrix}.
Observação: a matriz C foi fornecida no enunciado, mas a verificação pedida envolve apenas A e B.]

Passo 2

Definição e como calcular o produto de matrizes (recapitulando devagar): se X e Y são matrizes compatíveis para multiplicação e P=XY, então o elemento na linha i e coluna j de P, denotado p_{ij}, é dado pela soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de X com a coluna j de Y:
p_{ij}=\sum_{k} x_{ik}\,y_{kj}.
Vamos aplicar isso para calcular AB. Usaremos produto linha·coluna elemento a elemento.

Passo 3

Cálculo de AB elemento a elemento:
  • Primeiro elemento (AB)_{11}: linha 1 de A é (3,1); coluna 1 de B é \begin{pmatrix}2\\\ 4\end{pmatrix}.
(AB)_{11}=3\cdot2 + 1\cdot4 = 6 + 4 = 10.
  • Elemento (AB)_{12}: linha 1 de A com coluna 2 de B (que é \begin{pmatrix}-3\\\ 4\end{pmatrix}):
(AB)_{12}=3\cdot(-3) + 1\cdot4 = -9 + 4 = -5.
  • Elemento (AB)_{21}: linha 2 de A é (5,2) com coluna 1 de B:
(AB)_{21}=5\cdot2 + 2\cdot4 = 10 + 8 = 18.
  • Elemento (AB)_{22}: linha 2 de A com coluna 2 de B:
(AB)_{22}=5\cdot(-3) + 2\cdot4 = -15 + 8 = -7.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}10 & -5 \\[4pt] 18 & -7\end{pmatrix}.]

Passo 4

Definição de transposta (explicação didática): dada uma matriz M com entradas m_{ij}, a transposta M^{T} é a matriz cuja entrada na posição (i,j) é m_{ji}. Em palavras: linhas viram colunas (ou, equivalentemente, refletimos em relação à diagonal principal).
Vamos aplicar isso a AB para obter (AB)^{T}. Tomando a matriz que encontramos:
AB=\begin{pmatrix}10 & -5 \\[4pt] 18 & -7\end{pmatrix},
a transposta troca linha por coluna, então
(AB)^{T}=\begin{pmatrix}10 & 18 \\[4pt] -5 & -7\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculemos A^{T} e B^{T} separadamente usando a definição de transposta.
Para A:
A=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 5 & 2\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad A^{T}=\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
Para B:
B=\begin{pmatrix}2 & -3 \\[4pt] 4 & 4\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad B^{T}=\begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] -3 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora multiplicamos B^{T}A^{T}. Usamos novamente a regra do produto linha·coluna.
Calculemos elemento a elemento de B^{T}A^{T}:
  • (B^{T}A^{T})_{11}: linha 1 de B^{T} é (2,4); coluna 1 de A^{T} é \begin{pmatrix}3\\\ 1\end{pmatrix}.
(B^{T}A^{T})_{11}=2\cdot3 + 4\cdot1 = 6 + 4 = 10.
  • (B^{T}A^{T})_{12}: linha 1 de B^{T} com coluna 2 de A^{T} (que é \begin{pmatrix}5\\\ 2\end{pmatrix}):
(B^{T}A^{T})_{12}=2\cdot5 + 4\cdot2 = 10 + 8 = 18.
  • (B^{T}A^{T})_{21}: linha 2 de B^{T} é (-3,4) com coluna 1 de A^{T}:
(B^{T}A^{T})_{21}=(-3)\cdot3 + 4\cdot1 = -9 + 4 = -5.
  • (B^{T}A^{T})_{22}: linha 2 de B^{T} com coluna 2 de A^{T}:
(B^{T}A^{T})_{22}=(-3)\cdot5 + 4\cdot2 = -15 + 8 = -7.
Portanto
B^{T}A^{T}=\begin{pmatrix}10 & 18 \\[4pt] -5 & -7\end{pmatrix}.]

Passo 7

Comparando os resultados obtidos:
(AB)^{T}=\begin{pmatrix}10 & 18 \\[4pt] -5 & -7\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B^{T}A^{T}=\begin{pmatrix}10 & 18 \\[4pt] -5 & -7\end{pmatrix}.
Como as duas matrizes são iguais elemento a elemento, a identidade (AB)^{T}=B^{T}A^{T} fica verificada para as matrizes A e B dadas.]

Resposta

(AB)^{T}=B^{T}A^{T}=\begin{pmatrix}10 & 18 \\[4pt] -5 & -7\end{pmatrix}]

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