Problema 14. Seja
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;(x, y, z)=\alpha(1,2,0)+\beta(0,1,3), \alpha, \beta \in \mathbb{R}\right\}
(a) descreva geometricamente o conjunto S;
(b) diga se S é reta, plano ou outro objeto;
(c) verifique se o vetor (2,5,6) pertence a S.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
S=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\\ (x,y,z)=\alpha(1,2,0)+\beta(0,1,3),\\ \alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}.
As perguntas são:
  • (a) Descrever geometricamente o conjunto S.
  • (b) Dizer se S é reta, plano ou outro objeto.
  • (c) Verificar se o vetor (2,5,6) pertence a S.
Informações relevantes dadas:
  • Dois vetores geradores de S: v_1=(1,2,0) e v_2=(0,1,3).
  • Todo vetor em S é uma combinação linear \alpha v_1+\beta v_2 com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.

Passo 2

Entender o que significa a definição: escrever S como o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores dados. Isso quer dizer que S é o span (geralmente chamado de subespaço gerado) por v_1 e v_2:
S=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}=\{\alpha v_1+\beta v_2:\alpha,\beta\in\mathbb{R}\}.
Explicando devagar: \alpha e \beta são parâmetros reais. Variando-os, obtemos todos os vetores possíveis que se conseguem somando uma cópia escalada de v_1 com uma cópia escalada de v_2.

Passo 3

Verificar se S é um subespaço linear de \mathbb{R}^3. Condições básicas:
  • O vetor nulo pertence a S (escolhendo \alpha=0,\beta=0): (0,0,0)\in S.
  • Soma de dois vetores de S fica em S (soma de combinações lineares é combinação linear).
  • Multiplicação por escalar preserva S.
    Portanto S é um subespaço linear de \mathbb{R}^3.

Passo 4

Determinar a dimensão de S — isto indica se é uma reta (dimensão 1), um plano (dimensão 2) ou todo \mathbb{R}^3 (dimensão 3). Para isso, verificar se v_1 e v_2 são linearmente independentes ou não.
Dois vetores são múltiplos um do outro se existir t\in\mathbb{R} tal que v_2=t v_1. Comparando coordenadas:
  • Se v_2=t v_1, então pela primeira coordenada 0=t\cdot1 t=0.
  • Com t=0, a segunda coordenada exigiria 1=0, o que é falso.
    Logo v_2 não é múltiplo de v_1. Portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 2.
Conclusão parcial: S é uma superfície bidimensional no \mathbb{R}^3 — ou seja, um plano que passa pela origem.

Passo 5

Queremos uma descrição geométrica mais explícita: um plano que passa pela origem e que contém v_1 e v_2. Uma maneira prática de obter a equação cartesiana desse plano é encontrar um vetor normal n que seja ortogonal a ambos v_1 e v_2. O produto vetorial (cross product) dá exatamente esse normal:
n=v_1\times v_2.

Passo 6

Calcular o produto vetorial. Usando a regra do determinante:
v_1\times v_2=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}
Desenvolvendo:
v_1\times v_2= \mathbf{i}(2\cdot3-0\cdot1)-\mathbf{j}(1\cdot3-0\cdot0)+\mathbf{k}(1\cdot1-2\cdot0).
Logo
v_1\times v_2=(6,-3,1).
Este vetor é ortogonal a v_1 e a v_2.]

Passo 7

A equação cartesiana do plano que passa pela origem com normal n=(6,-3,1) é dada por
n\cdot (x,y,z)=0,
ou seja
6x-3y+z=0.
Verificação rápida: para v_1=(1,2,0) tem 6\cdot1-3\cdot2+0=6-6+0=0; para v_2=(0,1,3) tem 0-3+3=0. Assim a equação está correta e descreve exatamente S.
Portanto geometricamente S é o plano através da origem com equação \;6x-3y+z=0.

Passo 8

Responder explicitamente se S é reta, plano ou outro: como os geradores são linearmente independentes e há dois deles em \mathbb{R}^3, S é um plano (subespaço de dimensão 2).

Passo 9

Verificar se [(2,5,6)\in S). Dois métodos: (A) resolver (x,y,z)=\alpha v_1+\beta v_2; (B) testar a equação do plano. Vou mostrar os dois (são equivalentes).
Método A — sistema para \alpha,\beta:
Colocando coordenada a coordenada:
\begin{cases} \alpha\cdot1+\beta\cdot0=2,\\[4pt] \alpha\cdot2+\beta\cdot1=5,\\[4pt] \alpha\cdot0+\beta\cdot3=6. \end{cases}
Da primeira equação obtemos \alpha=2\]. Substituindo na segunda: \[2\cdot2+\beta=5\quad\Rightarrow\quad\beta=1.\] Mas da terceira equação temos \(3\beta=6\Rightarrow\beta=2. Há contradição: a segunda pede \beta=1 e a terceira pede \beta=2. Logo não existe par (\alpha,\beta) que satisfaça todas as três coordenadas simultaneamente; portanto (2,5,6)\notin S.
Método B — teste na equação do plano:
Substituir (x,y,z)=(2,5,6) em 6x-3y+z:
6\cdot2-3\cdot5+6=12-15+6=3\neq0.
Como a expressão não é zero, o ponto não satisfaz a equação do plano, então (2,5,6)\notin S.]

Passo 10

Exemplos rápidos para fixar a ideia:
  • Se \alpha=1,\beta=0 obtemos (1,2,0)\in S.
  • Se \alpha=0,\beta=1 obtemos (0,1,3)\in S.
  • Se \alpha=2,\beta=1 obtemos (2,5,3)\in S (note que este tem terceira coordenada 3, diferente de 6; mostra a razão do porquê (2,5,6) falha a condição).

Resposta

(a) S é o plano através da origem gerado por (1,2,0) e (0,1,3); sua equação cartesiana é \;6x-3y+z=0.
(b) S é um plano (subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^3).
(c) (2,5,6)\notin S.

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