Dois vetores geradores de S: v_1=(1,2,0) e v_2=(0,1,3).
Todo vetor em S é uma combinação linear \alpha v_1+\beta v_2 com \alpha,\beta\in\mathbb{R}.
Passo 2
Entender o que significa a definição: escrever S como o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores dados. Isso quer dizer que S é o span (geralmente chamado de subespaço gerado) por v_1 e v_2:
Explicando devagar: \alpha e \beta são parâmetros reais. Variando-os, obtemos todos os vetores possíveis que se conseguem somando uma cópia escalada de v_1 com uma cópia escalada de v_2.
Passo 3
Verificar se S é um subespaço linear de \mathbb{R}^3. Condições básicas:
O vetor nulo pertence a S (escolhendo \alpha=0,\beta=0): (0,0,0)\in S.
Soma de dois vetores de S fica em S (soma de combinações lineares é combinação linear).
Multiplicação por escalar preserva S.
Portanto S é um subespaço linear de \mathbb{R}^3.
Passo 4
Determinar a dimensão de S — isto indica se é uma reta (dimensão 1), um plano (dimensão 2) ou todo \mathbb{R}^3 (dimensão 3). Para isso, verificar se v_1 e v_2 são linearmente independentes ou não.
Dois vetores são múltiplos um do outro se existir t\in\mathbb{R} tal que v_2=t v_1. Comparando coordenadas:
Se v_2=t v_1, então pela primeira coordenada 0=t\cdot1 dá t=0.
Com t=0, a segunda coordenada exigiria 1=0, o que é falso.
Logo v_2 não é múltiplo de v_1. Portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes e geram um subespaço de dimensão 2.
Conclusão parcial: S é uma superfície bidimensional no \mathbb{R}^3 — ou seja, um plano que passa pela origem.
Passo 5
Queremos uma descrição geométrica mais explícita: um plano que passa pela origem e que contém v_1 e v_2. Uma maneira prática de obter a equação cartesiana desse plano é encontrar um vetor normal n que seja ortogonal a ambos v_1 e v_2. O produto vetorial (cross product) dá exatamente esse normal:
n=v_1\times v_2.
Passo 6
Calcular o produto vetorial. Usando a regra do determinante:
A equação cartesiana do plano que passa pela origem com normal n=(6,-3,1) é dada por
n\cdot (x,y,z)=0,
ou seja
6x-3y+z=0.
Verificação rápida: para v_1=(1,2,0) tem 6\cdot1-3\cdot2+0=6-6+0=0; para v_2=(0,1,3) tem 0-3+3=0. Assim a equação está correta e descreve exatamente S.
Portanto geometricamente S é o plano através da origem com equação \;6x-3y+z=0.
Passo 8
Responder explicitamente se S é reta, plano ou outro: como os geradores são linearmente independentes e há dois deles em \mathbb{R}^3, S é um plano (subespaço de dimensão 2).
Passo 9
Verificar se [(2,5,6)\in S). Dois métodos: (A) resolver (x,y,z)=\alpha v_1+\beta v_2; (B) testar a equação do plano. Vou mostrar os dois (são equivalentes).
Método A — sistema para \alpha,\beta:
Colocando coordenada a coordenada:
Da primeira equação obtemos \alpha=2\]. Substituindo na segunda:
\[2\cdot2+\beta=5\quad\Rightarrow\quad\beta=1.\]
Mas da terceira equação temos \(3\beta=6\Rightarrow\beta=2. Há contradição: a segunda pede \beta=1 e a terceira pede \beta=2. Logo não existe par (\alpha,\beta) que satisfaça todas as três coordenadas simultaneamente; portanto (2,5,6)\notin S.
Método B — teste na equação do plano:
Substituir (x,y,z)=(2,5,6) em 6x-3y+z:
6\cdot2-3\cdot5+6=12-15+6=3\neq0.
Como a expressão não é zero, o ponto não satisfaz a equação do plano, então (2,5,6)\notin S.]
Passo 10
Exemplos rápidos para fixar a ideia:
Se \alpha=1,\beta=0 obtemos (1,2,0)\in S.
Se \alpha=0,\beta=1 obtemos (0,1,3)\in S.
Se \alpha=2,\beta=1 obtemos (2,5,3)\in S (note que este tem terceira coordenada 3, diferente de 6; mostra a razão do porquê (2,5,6) falha a condição).
Resposta
(a) S é o plano através da origem gerado por (1,2,0) e (0,1,3); sua equação cartesiana é \;6x-3y+z=0.
(b) S é um plano (subespaço de dimensão 2 em \mathbb{R}^3).
(c) (2,5,6)\notin S.