Problema 12: Se a for uma constante positiva. Então vale
Lf(t-a) U(t-a)=e^-a s F(s),
em que F(s)=Lf(t). Aplique esse resultado e calcule:
L(t-2) U(t-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a transformada de Laplace de uma função que envolve um deslocamento no tempo, usando a seguinte fórmula:
Lf(t-a) U(t-a) = e^-a s F(s),
onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t). No nosso caso, a = 2 e a função que queremos transformar é (t-2) U(t-2). Para resolver, vamos usar essa fórmula e entender cada passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é cada parte da nossa função. Temos (t-2) U(t-2), onde U(t-2) é a função degrau de Heaviside que “ativa” a função a partir de t = 2. A parte f(t-a) aqui é (t-2), então podemos dizer que f(t) = t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace de f(t) = t, que é F(s). A transformada de Laplace de t é uma fórmula padrão:
Lt = 1s^2
Então, F(s) = 1s^2.

Passo 4

Com a = 2 e F(s) = 1s^2, vamos aplicar a fórmula inicial:
L(t-2) U(t-2) = e^-2 s cdot 1s^2

Resposta

A transformada de Laplace de (t-2) U(t-2) é:
L(t-2) U(t-2) = e^-2 ss^2

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