Sejam os pontos A=(-1,0), B=(1,0) e a reta r definida por \mathrm{x}+1=0. Esboce os seguintes conjuntos:
C_{2}=\left\{P \in \mathbb{R}^{2} \mid d(P, r)=d(P, B)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto \r \displaystyle C_{2}=\{P=(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid d(P,r)=d(P,B)\}, \r
onde r é a reta \,x+1=0 e B=(1,0). \r
O conteúdo aqui é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de uma reta e de um ponto, que sabemos ser uma parábola.

Passo 2

Expressamos as distâncias:\r \displaystyle d(P,r)=\bigl|x+1\bigr| \r
e \r \displaystyle d(P,B)=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}. \r
Igualando e elevando ao quadrado:\r
\bigl|x+1\bigr|^{2}=(x-1)^{2}+y^{2} \quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}.\r
Desenvolvendo:\r
x^{2}+2x+1 \;=\;x^{2}-2x+1 +y^{2} \;\Longrightarrow\; 4x=y^{2} \;\Longrightarrow\; x=\frac{y^{2}}{4}.

Passo 3

A curva x=\tfrac{y^{2}}{4} é uma parábola com vértice em (0,0), eixo paralelo ao eixo x, foco em (1,0) e diretriz x=-1, abrindo para a direita. Para esboçá-la basta marcar alguns pontos, por exemplo:\r \;y=0\Rightarrow x=0,\;y=\pm2\Rightarrow x=1,\;y=\pm4\Rightarrow x=4,\dots

Resposta

O conjunto C_{2} é a parábola de equação\r
x=\frac{y^{2}}{4},\r
com vértice em (0,0), foco em (1,0) e diretriz x=-1, que abre para a direita.

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