Problema 7.3: Expansão Isotérmica Irreversível de Gás Ideal Três moles de um gás ideal expandem-se, isotermicamente, contra uma pressão oposta de 100 kPa , de 20 \mathrm{dm}^{3} para 60 \mathrm{dm}^{3}. Calcule Q, W, \Delta U e \Delta H.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro grandezas:
  • Número de mols: n=3.
  • Pressão contrária constante (externa): P_{\text{ext}}=100\\ \text{kPa}.
  • Volume inicial: V_i=20\\ \text{dm}^3.
  • Volume final: V_f=60\\ \text{dm}^3.
O que é pedido:
  • Q (calor trocado),
  • W (trabalho),
  • \Delta U (variação da energia interna),
  • \Delta H (variação da entalpia).
Observação sobre a figura dos dados: peguei os valores de P_{\text{ext}}, V_i, V_f diretamente do enunciado.

Passo 2

Primeiro, converter volumes e pressão para unidades SI (porque vamos trabalhar com joules):
  • 1\\ \text{dm}^3=1\times10^{-3}\\ \text{m}^3. Então
V_i = 20\\ \text{dm}^3 = 20\times10^{-3}\\ \text{m}^3 = 0{,}020\\ \text{m}^3,
V_f = 60\\ \text{dm}^3 = 60\times10^{-3}\\ \text{m}^3 = 0{,}060\\ \text{m}^3.
  • A pressão dada P_{\text{ext}}=100\\ \text{kPa}=100\times10^{3}\\ \text{Pa}=1{,}0\times10^{5}\\ \text{Pa}.

Passo 3

Calcular a variação de volume \Delta V:
\Delta V = V_f - V_i = 0{,}060 - 0{,}020 = 0{,}040\\ \text{m}^3.
Expansão significa \Delta V>0.

Passo 4

Escolher a convenção de sinais e a expressão do trabalho para expansão irreversível contra pressão externa constante.
Explicação didática das convenções:
  • Usarei a convenção comum em química: a primeira lei escrita como
\Delta U = Q + W,
onde W é o trabalho realizado SOBRE o sistema. Nesse caso, se o sistema se expande ele realiza trabalho sobre o entorno, então W será negativo.
  • Para expansão contra pressão constante externa vale a expressão (trabalho de pressão):
W = -P_{\text{ext}}\,\Delta V.
Aqui P_{\text{ext}} é a pressão que se opõe à expansão (a fornecida no enunciado) e \Delta V é V_f-V_i.

Passo 5

Calcular o trabalho W usando a fórmula acima. Colocando os números em SI:
W = -P_{\text{ext}}\,\Delta V = -\bigl(1{,}0\times10^{5}\\ \text{Pa}\bigr)\times\bigl(0{,}040\\ \text{m}^3\bigr).
Fazendo a conta:
W = -4{,}0\times10^{3}\\ \text{J}.
Interpretação física curta: o sinal negativo indica que o sistema realizou 4{,}0\times10^{3}\\ \text{J} de trabalho sobre o entorno.

Passo 6

Determinar \Delta U para um gás ideal em processo isotérmico.
A razão: para um gás ideal (modelo ideal), a energia interna U depende só da temperatura. A variação de energia interna é dada por
\Delta U = n C_V \Delta T.
Num processo isotérmico temos \Delta T=0, logo
\Delta U = 0.

Passo 7

Usar a primeira lei para encontrar Q.
A primeira lei (na convenção que adotamos) é
\Delta U = Q + W.
Como \Delta U=0, obtemos
0 = Q + W \quad\Rightarrow\quad Q = -W.
Substituindo o valor de W que calculamos:
Q = -\bigl(-4{,}0\times10^{3}\\ \text{J}\bigr) = 4{,}0\times10^{3}\\ \text{J}.
Interpretação: o sistema absorveu 4{,}0\times10^{3}\\ \text{J} de calor do reservatório térmico para manter a temperatura enquanto realizava trabalho.

Passo 8

Calcular \Delta H (variação de entalpia).
Para um gás ideal a entalpia H também depende apenas da temperatura; a variação de entalpia é
\Delta H = n C_P \Delta T.
Como o processo é isotérmico ( \Delta T=0), segue que
\Delta H = 0.

Resposta

Q = 4{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{J}
W = -4{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{J}
\Delta U = 0
\Delta H = 0

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