Problema 7.7: Expansão Isotérmica Reversível de Gás de van der Waals Um mol de um gás de van der Waals a 300 K expande-se isotérmica e reversivelmente de
para
. A constante
e
. Use
. Calcule
e
para esta transformação.
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados fornecidos:
- Número de mols:
. - Temperatura:
. - Volume inicial:
. - Volume final:
. - Constantes do gás de van der Waals:
e . - Relação dada para energia interna:
. - Constante dos gases ideais:
.
Conversões (coloquei tudo em unidades SI — muito importante!):
-
. -
. -
. -
O que o enunciado pede:
- Calcular
(trabalho), (calor trocado), (variação da energia interna) e (variação da entalpia) para a expansão isotérmica reversível do gás de van der Waals.
Observação sobre convenção de sinais que vou usar (importante): vou usar a convenção termodinâmica habitual em muitas disciplinas:
-
será o trabalho realizado sobre o sistema, isto é . Assim, para uma expansão reversível (o sistema realiza trabalho sobre o entorno). - A primeira lei será escrita como
, onde é o calor recebido pelo sistema.
Passo 2
Explicação do método: como o processo é isotérmico e reversível, o trabalho mecânico reversível é dado por uma integral do
do gás. Para o gás de van der Waals (uma mol), a pressão é
Aqui:
-
é a constante dos gases, -
é a temperatura (constante no processo isotérmico), -
é o volume molar (aqui para usamos volumes absolutos), -
e são as constantes de van der Waals dadas.
O trabalho reversível (trabalho sobre o sistema) é
Vou agora explicar como integrar essa expressão, passo a passo.
Passo 3
Cálculo do trabalho
. Primeiro faço a integral analítica:
As integrais conhecidas são:
-
, -
.
Aplicando os limites,
Isso dá
Agora substituo valores numéricos. Primeiro calculos auxiliares numéricos:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
Agora o primeiro termo:
Somando os dois termos:
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos nos termos grandes):
Interpretação rápida:
significa que, conforme adotado, o sistema realizou trabalho sobre o entorno (expansão).
Passo 4
Cálculo de
. O enunciado deu diretamente a derivada parcial
Para uma transformação isotérmica de
para
, a variação de energia interna é a integral dessa derivada:
Já calculei esse valor no passo anterior:
Portanto,
é pequena e positiva (o gás interno aumentou levemente de energia apesar da isotermia; para gás ideal isotérmico
, mas o van der Waals tem dependência com
).
Passo 5
Cálculo do calor
usando a primeira lei:
Substituindo os números (atenção aos sinais:
já é negativo):
Observação: esse valor coincide com
primeiro termo do
, ou seja
o que faz sentido físico: a maior parte do calor fornecido é convertida em trabalho, com uma pequena fração indo para
.
Passo 6
Cálculo de
. A entalpia é
. Então
Para o gás de van der Waals, pode usar-se a expressão para
e calcular
:
Portanto
Somando com
, obtém-se (os termos em
combinam):
(Vou reorganizar de forma limpa: melhor, calcule numericamente
e some a
.)
Cálculo numérico direto:
-
Já calculei
. -
Calcule
em : Computando:-
. -
-
- Logo
-
-
Calcule
em : Computando:-
-
-
- Logo
-
-
Então
Finalmente,
(Outra forma concisa de expressar
analiticamente: ao integrar a expressão correta para
chega-se em resultado equivalente. O cálculo numérico acima é direto e claro.)
Passo 7
Resumo numérico final com unidades e interpretação rápida:
-
(trabalho sobre o sistema; negativo porque o sistema se expandiu). -
(a energia interna aumentou ligeiramente). -
(calor fornecido ao sistema). -
(variação de entalpia positiva, pequena).