Problema 13. Seja z=a+b i com a e b números reais e i a unidade imaginária dos números complexos. Sabendo que todas as raízes da equação
z^{3}(z+4 i)=2 z(3 z+2 i)+i
formam vértices de um polígono regular convexo no plano complexo cuja a sua área é igual a S que pode ser escrita da forma 2^{\frac{p}{q}} com p e q números inteiros positivos primos entre si, calcule o valor de p^{2}+q^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a equação polinomial em z:
z^{3}(z+4 i)=2 z(3 z+2 i)+i
onde z=a+b i com a,b\in\mathbb{R}. Diz que todas as raízes dessa equação formam os vértices de um polígono regular convexo no plano complexo, cuja área é S e que pode ser escrita na forma 2^{\frac{p}{q}} com p,q inteiros positivos e primos entre si. A tarefa é encontrar o valor de p^{2}+q^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação a resolver é \;z^{3}(z+4 i)=2 z(3 z+2 i)+i.
  • As raízes formam os vértices de um polígono regular convexo (logo um polígono regular de n vértices, para algum n).
  • A área do polígono vale S=2^{\frac{p}{q}} e devemos obter p^{2}+q^{2}.

Passo 2

Primeiro, vou transformar a equação para uma forma mais fácil de manipular. Faço a substituição conveniente
z=i w,
com w complexo. Vou calcular cada potência de z em função de w:
z=i w,\qquad z^2=(i w)^2=-w^2,\qquad z^3=(i w)^3=-i w^3,\qquad z^4=(i w)^4=w^4.
Substituo esses valores na equação original. A equação original em forma expandida é
z^4+4 i z^3-6 z^2-4 i z-i=0.
Agora substituindo os termos em w:
w^4 + 4\underbrace{i(-i)}_{=1} w^3 -6(-w^2) -4 i(i w) - i =0.
Calculando os produtos dentro:
w^4 + 4 w^3 + 6 w^2 + 4 w - i = 0.
Repare que os quatro primeiros termos são exatamente a expansão de (w+1)^4, pois
(w+1)^4 = w^4 + 4 w^3 + 6 w^2 + 4 w + 1.
Portanto a equação fica
(w+1)^4 - (1+i)=0,
ou seja
(w+1)^4 = 1+i.

Passo 3

A equação (w+1)^4=1+i diz que w+1 é uma raiz quarta de 1+i. Vou fazer uma pequena aula sobre raízes de números complexos.
Para achar as n-ésimas raízes de um número complexo, é útil escrever o número em forma polar. Escrevo 1+i em forma polar: seu módulo é
|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2},
e seu argumento principal é
\arg(1+i)=\frac{\pi}{4},
pois 1+i está no primeiro quadrante a 45^\circ. Assim
1+i=\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}.
As quatro raízes quartas de 1+i são dadas por
w+1 = \rho\, e^{i\theta_k},\qquad k=0,1,2,3,
onde
\rho = |1+i|^{1/4}=(\sqrt{2})^{1/4}=2^{1/8}
e
\theta_k = \frac{\pi/4 + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2},\qquad k=0,1,2,3.
Assim os quatro valores de w+1 são pontos igualmente espaçados (ângulos separados por \pi/2) na circunferência de raio \rho=2^{1/8} centrada na origem.
Portanto as quatro raízes w_k são
w_k = \rho\, e^{i\theta_k} - 1,\qquad k=0,1,2,3,
e as raízes z_k da equação original são
z_k = i w_k = i\big(\rho\, e^{i\theta_k} - 1\big)= i\rho\, e^{i\theta_k} - i.

Passo 4

Agora vamos interpretar geometricamente o conjunto das raízes z_k. Os pontos u_k:=\rho\, e^{i\theta_k} são os quatro quartas raízes de 1+i; eles formam um polígono regular de 4 vértices (um quadrado) centrado na origem e com circunferência de raio \rho.
As transformações que geraram os z_k a partir dos u_k foram:
  • w_k = u_k - 1: uma translação por -1;
  • z_k = i w_k: uma rotação de 90^\circ (multiplicação por i) sem alteração do tamanho ( |i|=1).
Observações importantes sobre área e regularidade:
  • Tradução (somar ou subtrair um complexo) preserva forma e área do polígono.
  • Rotação (multiplicação por um complexo de módulo 1) também preserva forma e área.
    Logo, o polígono convexo regular formado pelos z_k tem a mesma área do polígono regular formado pelos u_k. Assim podemos calcular S considerando o quadrado formado por u_k, que tem centro na origem e circunferência de raio \rho.

Passo 5

Calculamos a área S do quadrado formado pelos u_k. Para um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio R (circumradius) a fórmula da área é
\text{Área} = \frac{n}{2}R^{2}\sin\!\left(\frac{2\pi}{n}\right).Á
Aqui n=4 e R=\rho=2^{1/8}. Substituindo:
S = \frac{4}{2}\,\rho^{2}\sin\!\left(\frac{2\pi}{4}\right) = 2\,\rho^{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
Como \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, temos
S = 2\,\rho^{2} = 2\left(2^{1/8}\right)^{2} = 2\cdot 2^{1/4} = 2^{1+1/4}=2^{5/4}.
Alternativamente, pensar no quadrado: lado s=\sqrt{2}\,\rho e área s^{2}=2\rho^{2}, chega ao mesmo resultado.
Portanto S=2^{\frac{5}{4}}. Isso significa que \frac{p}{q}=\frac{5}{4} com p=5 e q=4, que são primos entre si.

Passo 6

Por fim, calcular
p^{2}+q^{2}=5^{2}+4^{2}=25+16=41.

Resposta

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