Problema 13. Seja z=a+b i com a e b números reais e i a unidade imaginária dos números complexos. Sabendo que todas as raízes da equação
z^{3}(z+4 i)=2 z(3 z+2 i)+i
formam vértices de um polígono regular convexo no plano complexo cuja a sua área é igual a S que pode ser escrita da forma 2^{\frac{p}{q}} com p e q números inteiros positivos primos entre si, calcule o valor de p^{2}+q^{2}.
Passo 1
O enunciado dá a equação polinomial em z:
z^{3}(z+4 i)=2 z(3 z+2 i)+i
onde z=a+b i com a,b\in\mathbb{R}. Diz que todas as raízes dessa equação formam os vértices de um polígono regular convexo no plano complexo, cuja área é S e que pode ser escrita na forma 2^{\frac{p}{q}} com p,q inteiros positivos e primos entre si. A tarefa é encontrar o valor de p^{2}+q^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
A equação a resolver é \;z^{3}(z+4 i)=2 z(3 z+2 i)+i.
As raízes formam os vértices de um polígono regular convexo (logo um polígono regular de n vértices, para algum n).
A área do polígono vale S=2^{\frac{p}{q}} e devemos obter p^{2}+q^{2}.
Passo 2
Primeiro, vou transformar a equação para uma forma mais fácil de manipular. Faço a substituição conveniente
z=i w,
com w complexo. Vou calcular cada potência de z em função de w:
Assim os quatro valores de w+1 são pontos igualmente espaçados (ângulos separados por \pi/2) na circunferência de raio \rho=2^{1/8} centrada na origem.
Portanto as quatro raízes w_k são
w_k = \rho\, e^{i\theta_k} - 1,\qquad k=0,1,2,3,
e as raízes z_k da equação original são
z_k = i w_k = i\big(\rho\, e^{i\theta_k} - 1\big)= i\rho\, e^{i\theta_k} - i.
Passo 4
Agora vamos interpretar geometricamente o conjunto das raízes z_k. Os pontos u_k:=\rho\, e^{i\theta_k} são os quatro quartas raízes de 1+i; eles formam um polígono regular de 4 vértices (um quadrado) centrado na origem e com circunferência de raio \rho.
As transformações que geraram os z_k a partir dos u_k foram:
w_k = u_k - 1: uma translação por -1;
z_k = i w_k: uma rotação de 90^\circ (multiplicação por i) sem alteração do tamanho (|i|=1).
Observações importantes sobre área e regularidade:
Tradução (somar ou subtrair um complexo) preserva forma e área do polígono.
Rotação (multiplicação por um complexo de módulo 1) também preserva forma e área.
Logo, o polígono convexo regular formado pelos z_k tem a mesma área do polígono regular formado pelos u_k. Assim podemos calcular S considerando o quadrado formado por u_k, que tem centro na origem e circunferência de raio \rho.
Passo 5
Calculamos a área S do quadrado formado pelos u_k. Para um polígono regular de n lados inscrito numa circunferência de raio R (circumradius) a fórmula da área é