Problema 11. Seja arco tangente definida no intervalo dos reais em
. Qual é o valor máximo da função
.
Passo 1
O enunciado pede o valor máximo da função
para
. Informações dadas e observações imediatas:
- A função arco tangente está definida em todo
com imagem em . - O argumento da arctg é a função racional
. - A constante
pode ser simplificada para , e é positiva porque .
A pergunta a responder é: qual é o maior valor de
, isto é,
?
Passo 2
Observação importante sobre
: a função
é estritamente crescente em
. Explicando por que (rápido):
Como
é crescente, maximizar
em
equivale a maximizar
em
. Logo
Passo 3
Como
depende apenas de
, é conveniente fazer a substituição
. Então
e
Maximizar
em
é equivalente a maximizar
em
. Para simplificar, note que
, então a constante
. Assim
Passo 4
Vamos encontrar os críticos de
por derivação. Como
é constante,
Explicando o numerador passo a passo:
Portanto
O denominador é sempre positivo e
, logo o sinal de
vem de
. Zeros de
ocorrem quando
Também verificamos os extremos do domínio:
e
. Calculos rápidos mostram
e
. Como
para
e
para
, o ponto
é um máximo global em
.
Passo 5
Calculamos o valor de
em
. Primeiro calculemos numerador e denominador separadamente:
Logo
Podemos simplificar essa fração multiplicando numerador e denominador por
ou simplesmente observar fator comum
e racionalizar; fazendo a redução obtemos
Portanto
, e assim
.
Passo 6
Voltando para
, como
é crescente,
Agora reconhecemos que
é o valor de
de um ângulo conhecido. Usando a fórmula da tangente da diferença:
Racionalizando ou simplificando essa expressão obtemos
Portanto
.
Passo 7
Conclusão final: o valor máximo de
em
é
.