Problema 12. Seja x um número real no intervalo 0<x<\frac{\pi}{2}. Determine o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade \frac{1}{2} \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sqrt{3}\left(\cos ^{2} \frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right) \operatorname{sec} (x) \geq 0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: um número real x com 0<x<\dfrac{\pi}{2} e a desigualdade
\frac{1}{2}\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)-\sqrt{3}\!\left(\cos^{2}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)\operatorname{sec}(x)\geq 0.
  • Pedido: determinar o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções dessa desigualdade no intervalo 0<x<\dfrac{\pi}{2}.
Observações importantes do enunciado (listas de dados que vamos usar):
  • O domínio onde procuramos soluções é 0<x<\dfrac{\pi}{2}.
  • A desigualdade envolve \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) (tan de \pi/2-x), \cos^{2}\frac{x}{2} e \operatorname{sec} x.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão trigonométrica passo a passo, explicando as identidades usadas.
  1. Identidade de cofuncao:
\operatorname{tg}\!\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cot x,
onde \cot x é o co-tangente, \cot x=\dfrac{1}{\tan x}. Essa identidade vem da relação entre seno e cosseno:
\tan(\pi/2 - x)=\dfrac{\sin(\pi/2-x)}{\cos(\pi/2-x)}=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x.
  1. Identidade para \cos^{2} de ângulo metade:
\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}.
Essa é a fórmula de ângulo metade padrão: \cos^{2}\theta=(1+\cos(2\theta))/2; aqui \theta=\dfrac{x}{2} dá a expressão acima.
  1. Definição de \operatorname{sec} x:
\operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}.
Agora aplico essas equalidades à desigualdade original.

Passo 3

Substituindo as identidades na desigualdade:
Começo escrevendo a desigualdade original com a substituição de \tan(\frac{\pi}{2}-x):
\frac{1}{2}\cot x-\sqrt{3}\left(\cos^{2}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\right)\operatorname{sec} x\geq 0.
Agora uso \cos^{2}\dfrac{x}{2}=\dfrac{1+\cos x}{2}. Então
\cos^{2}\frac{x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1+\cos x}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\cos x}{2}.
Substituo isso e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}:
\frac{1}{2}\cot x-\sqrt{3}\left(\frac{\cos x}{2}\right)\cdot\frac{1}{\cos x}\geq 0.
Simplificando o produto \left(\frac{\cos x}{2}\right)\cdot\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{2}, obtemos
\frac{1}{2}\cot x-\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}\geq 0.
Fatorando \dfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\bigl(\cot x-\sqrt{3}\bigr)\geq 0.

Passo 4

Resolver a desigualdade reduzida:
\frac{1}{2}\bigl(\cot x-\sqrt{3}\bigr)\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cot x-\sqrt{3}\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \cot x\geq \sqrt{3}.
Agora, lembrando o comportamento de \cot x em (0,\tfrac{\pi}{2}): \cot x é positiva e estritamente decrescente desde +\infty (próximo de 0^+) até 0 (em x\to \tfrac{\pi}{2}^-). Então a desigualdade \cot x\geq\sqrt{3} corresponde a valores de x menores ou iguais ao ponto onde \cot x=\sqrt{3}.
Resolver \cot x=\sqrt{3} é equivalente a \tan x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Sabemos que
\tan\frac{\pi}{6}=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Portanto a solução da equação é x=\dfrac{\pi}{6} (no intervalo (0,\tfrac{\pi}{2}) é a única).
Pelo comportamento monótono de \cot x em (0,\tfrac{\pi}{2}), a desigualdade \cot x\geq\sqrt{3} corresponde ao conjunto
0<x\leq \frac{\pi}{6}.
Explicando em palavras: todos os x entre zero (excluído) e \pi/6 (incluído) satisfazem \cot x\ge\sqrt{3}, e para x>\pi/6 a cotangente já é menor que \sqrt{3}.

Passo 5

Agora precisamos do comprimento do menor intervalo que contenha todas as soluções.
O conjunto de soluções que encontramos é
S=\left(0,\frac{\pi}{6}\right].
A menor (em comprimento) família de intervalos que contém S terá necessariamente comprimento pelo menos igual a \sup S-\inf S. Aqui
\inf S=0,\qquad \sup S=\frac{\pi}{6}.
Portanto qualquer intervalo que contenha S tem comprimento \geq \dfrac{\pi}{6}-0=\dfrac{\pi}{6}. O próprio intervalo \left(0,\dfrac{\pi}{6}\right] tem comprimento \dfrac{\pi}{6}. Logo o menor comprimento possível é \dfrac{\pi}{6}.
(Observação intuitiva: como S contém números arbitrariamente próximos de 0, o extremo esquerdo do intervalo que os contenha deve ficar em ou antes de 0; o direito deve ser pelo menos \pi/6. A diferença mínima é \pi/6.)

Resposta

\dfrac{\pi}{6}

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