Problema 12. Seja
um número real no intervalo
. Determine o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções da desigualdade
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: um número real
com e a desigualdade
- Pedido: determinar o comprimento do menor intervalo que contém todas as soluções dessa desigualdade no intervalo
.
Observações importantes do enunciado (listas de dados que vamos usar):
- O domínio onde procuramos soluções é
. - A desigualdade envolve
(tan de ), e .
Passo 2
Vamos simplificar a expressão trigonométrica passo a passo, explicando as identidades usadas.
- Identidade de cofuncao:
onde
é o co-tangente,
. Essa identidade vem da relação entre seno e cosseno:
.
- Identidade para
de ângulo metade:
Essa é a fórmula de ângulo metade padrão:
; aqui
dá a expressão acima.
- Definição de
:
Agora aplico essas equalidades à desigualdade original.
Passo 3
Substituindo as identidades na desigualdade:
Começo escrevendo a desigualdade original com a substituição de
:
Agora uso
. Então
Substituo isso e
:
Simplificando o produto
, obtemos
Fatorando
:
Passo 4
Resolver a desigualdade reduzida:
Agora, lembrando o comportamento de
em
:
é positiva e estritamente decrescente desde
(próximo de
) até
(em
). Então a desigualdade
corresponde a valores de
menores ou iguais ao ponto onde
.
Resolver
é equivalente a
. Sabemos que
Portanto a solução da equação é
(no intervalo
é a única).
Pelo comportamento monótono de
em
, a desigualdade
corresponde ao conjunto
Explicando em palavras: todos os
entre zero (excluído) e
(incluído) satisfazem
, e para
a cotangente já é menor que
.
Passo 5
Agora precisamos do comprimento do menor intervalo que contenha todas as soluções.
O conjunto de soluções que encontramos é
A menor (em comprimento) família de intervalos que contém
terá necessariamente comprimento pelo menos igual a
. Aqui
Portanto qualquer intervalo que contenha
tem comprimento
. O próprio intervalo
tem comprimento
. Logo o menor comprimento possível é
.
(Observação intuitiva: como
contém números arbitrariamente próximos de
, o extremo esquerdo do intervalo que os contenha deve ficar em ou antes de
; o direito deve ser pelo menos
. A diferença mínima é
.)