Problema 17.

Considere a parábola definida pela equação
C: \quad 3 x^{2}+y^{2}+2 \sqrt{3} x y+2 x-2 \sqrt{3} y=0
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com o vértice da parábola C , passando pelo foco dessa mesma parábola.

Passo 1

O enunciado dá a parábola
C:\;3x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3}\,x y+2x-2\sqrt{3}\,y=0
e pede a circunferência de centro no vértice de C que passe pelo foco de C. O conteúdo abarca mudança de variáveis por rotação para eliminar o termo misto, identificação da forma canônica de uma parábola, cálculo de vértice e foco, e fórmula da circunferência.

Passo 2

Para eliminar o termo em xy, rodamos os eixos em \theta=30^\circ. Definimos
x = \frac{\sqrt{3}}{2}X - \frac{1}{2}Y, \quad y = \frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y.
Substituindo em 3x^{2}+y^{2}+2\sqrt{3}\,xy+2x-2\sqrt{3}y=0 e coletando termos, obtém-se
4X^{2}-4Y=0,
ou seja
Y = X^{2}.

Passo 3

Na forma canônica Y=X^{2}, o vértice é (X,Y)=(0,0) e o parâmetro é 4p=1, logo p=\tfrac14. O foco no sistema (X,Y) é (0,\tfrac14). Voltando a (x,y), para (X,Y)=(0,\tfrac14) temos
x_F = -\frac{1}{2}\,\frac14 = -\frac18, \quad y_F = \frac{\sqrt{3}}{2}\,\frac14 = \frac{\sqrt{3}}{8}.
O vértice em (x,y) corresponde a (0,0).

Passo 4

A circunferência de centro V=(0,0) e que passa pelo foco F=\bigl(-\tfrac18,\tfrac{\sqrt{3}}8\bigr) tem raio
r = VF = \sqrt{\Bigl(-\tfrac18\Bigr)^{2} + \Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}8\Bigr)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{64} + \frac{3}{64}} = \frac{1}{4}.
Logo a equação é
(x-0)^{2} + (y-0)^{2} = \bigl(\tfrac14\bigr)^{2}.

Resposta

x^{2}+y^{2}=\tfrac{1}{16}.

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