Problema 17.
Considere a parábola definida pela equação
Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com o vértice da parábola C , passando pelo foco dessa mesma parábola.
Passo 1
O enunciado dá a parábola
e pede a circunferência de centro no vértice de
que passe pelo foco de
. O conteúdo abarca mudança de variáveis por rotação para eliminar o termo misto, identificação da forma canônica de uma parábola, cálculo de vértice e foco, e fórmula da circunferência.
Passo 2
Para eliminar o termo em
, rodamos os eixos em
. Definimos
Substituindo em
e coletando termos, obtém-se
ou seja
Passo 3
Na forma canônica
, o vértice é
e o parâmetro é
, logo
. O foco no sistema
é
. Voltando a
, para
temos
O vértice em
corresponde a
.
Passo 4
A circunferência de centro
e que passa pelo foco
tem raio
Logo a equação é