• Problema 5.19. Prove que toda função contínua e periódica f: R R atinge seu supremo e ínfimo.

Passo 1

O enunciado pede para provar que toda função contínua e periódica fcolonRtoR atinge seus valores extremos (isto é, existe ponto onde atinge supremo e ínfimo). Vamos usar o Teorema do Valor Extremo, que afirma que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge máximo e mínimo nesse intervalo. A estratégia será restringir f a um período e depois estender o resultado a todo R.

Passo 2

Como f é periódica, existe um período T>0 tal que
f(x+T)=f(x)para todo xinR
Considere o intervalo compacto [0,T]. Pela continuidade de f em R, f é contínua em [0,T]. Pelo Teorema do Valor Extremo, existem pontos c,din[0,T] tais que
f(c)=maxxin[0,T]f(x), f(d)=minxin[0,T]f(x)

Passo 3

Para qualquer xinR, escrevemos x=nT+y com ninZ e yin[0,T]. Usando a periodicidade,
f(x)=f(nT+y)=f(y)
Como yin[0,T], segue
f(d)<= f(y)<= f(c),
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infxinRf(x)=f(d), supxinRf(x)=f(c),
e esses valores são efetivamente atingidos em d e c, respectivamente.

Resposta

supxinRf(x)=f(c), infxinRf(x)=f(d),
com c,din[0,T] tais que f(c)=max[0,T]f e f(d)=min[0,T]f.

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