- Problema 5.19. Prove que toda função contínua e periódica
atinge seu supremo e ínfimo.
Passo 1
O enunciado pede para provar que toda função contínua e periódica
atinge seus valores extremos (isto é, existe ponto onde atinge supremo e ínfimo). Vamos usar o Teorema do Valor Extremo, que afirma que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge máximo e mínimo nesse intervalo. A estratégia será restringir
a um período e depois estender o resultado a todo
.
Passo 2
Como
é periódica, existe um período
tal que
Considere o intervalo compacto
. Pela continuidade de
em
,
é contínua em
. Pelo Teorema do Valor Extremo, existem pontos
tais que
Passo 3
Para qualquer
, escrevemos
com
e
. Usando a periodicidade,
Como
, segue
logo
e esses valores são efetivamente atingidos em
e
, respectivamente.
Resposta
com
tais que
e
.