Problema 18. Dados
\vec{u}=(1,2,0) \quad \text { e } \quad \vec{v}=(2,-1,3),
calcule \vec{u} \times \vec{v} e verifique diretamente que o vetor obtido é ortogonal tanto a \vec{u} quanto a \vec{v}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores
\vec{u}=(1,2,0)\qquad\text{e}\qquad\vec{v}=(2,-1,3),
e pede duas coisas:
  • calcular \vec{u}\times\vec{v};
  • verificar diretamente que o vetor obtido é ortogonal a \vec{u} e a \vec{v}.
Estas são as informações e as perguntas que vamos usar nos próximos passos.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é o produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3. Uma forma prática de lembrar a regra é usar o determinante com os vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[4pt] u_1 & u_2 & u_3 \\[4pt] v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}.
Outra forma equivalente, já em componentes, é a fórmula
\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3-u_3v_2,\; u_3v_1-u_1v_3,\; u_1v_2-u_2v_1).
Aqui u_1,u_2,u_3 são as componentes de \vec{u} e v_1,v_2,v_3 as componentes de \vec{v}.]

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados:
u_1=1,\quad u_2=2,\quad u_3=0,
v_1=2,\quad v_2=-1,\quad v_3=3.

Passo 4

Calcular a primeira componente de \vec{u}\times\vec{v} usando u_2v_3-u_3v_2:
u_2v_3-u_3v_2 = 2\cdot 3 - 0\cdot(-1) = 6 - 0 = 6.

Passo 5

Calcular a segunda componente usando u_3v_1-u_1v_3:
u_3v_1-u_1v_3 = 0\cdot 2 - 1\cdot 3 = 0 - 3 = -3.

Passo 6

Calcular a terceira componente usando u_1v_2-u_2v_1:
u_1v_2-u_2v_1 = 1\cdot(-1) - 2\cdot 2 = -1 - 4 = -5.

Passo 7

Reunindo as componentes, obtemos o produto vetorial:
\vec{u}\times\vec{v}=(6,-3,-5).

Passo 8

Agora verificar ortogonalidade. Lembrar que dois vetores são ortogonais exatamente quando o produto escalar (dot product) entre eles é zero. O produto escalar de (a_1,a_2,a_3) e (b_1,b_2,b_3) é
(a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.

Passo 9

Calcular \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}):
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=1\cdot 6 + 2\cdot(-3) + 0\cdot(-5)=6-6+0=0.
Como o produto escalar é 0, \vec{u} é ortogonal a \vec{u}\times\vec{v}.

Passo 10

Calcular \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v}):
\vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=2\cdot 6 + (-1)\cdot(-3) + 3\cdot(-5)=12+3-15=0.
Também aqui o produto escalar é 0, logo \vec{v} é ortogonal a \vec{u}\times\vec{v}.

Resposta

\vec{u}\times\vec{v}=(6,-3,-5)
\vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0,\\ \vec{v}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})=0

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