Problema 4.17. Sejam a, b, c e m números inteiros e com m>1. Mostre que se a times c equiv b times c bmod m e se mdc(c, m)=1, então a equiv b bmod m.

Passo 1

O enunciado afirma que temos inteiros a,b,c,m com m>1, que satisfazem
a,c equiv b,c pmod m
e gcd(c,m)=1. O conteúdo aqui é a propriedade de “cancelamento” em congruências, que se baseia em resultados sobre divisibilidade e no Teorema de Bézout para inteiros coprimos.

Passo 2

Da congruência
a,c equiv b,c pmod m
segue, por definição, que
m mid l(a,c - b,cr) Long<=ftrightarrow m mid c,(a - b)

Passo 3

Como gcd(c,m)=1, pelo Teorema de Bézout existem inteiros u,v tais que
c,u + m,v = 1

Passo 4

Multiplicando a identidade de Bézout por (a-b) obtém-se
c,u,(a-b) + m,v,(a-b) = a - b
No primeiro termo da soma, c,u,(a-b), sabemos que mmid c,(a-b) (Passo 2), logo m também divide c,u,(a-b). E obviamente mmid m,v,(a-b). Assim, pela linearidade da divisibilidade, m divide toda a soma, ou seja,
m mid (a-b)

Resposta

a equiv b pmod m

Exercícios relacionados