Problema 4.17. Sejam
e
números inteiros e com
. Mostre que se
e se
, então
.
Passo 1
O enunciado afirma que temos inteiros
com
, que satisfazem
e
. O conteúdo aqui é a propriedade de “cancelamento” em congruências, que se baseia em resultados sobre divisibilidade e no Teorema de Bézout para inteiros coprimos.
Passo 2
Da congruência
segue, por definição, que
Passo 3
Como
, pelo Teorema de Bézout existem inteiros
tais que
Passo 4
Multiplicando a identidade de Bézout por
obtém-se
No primeiro termo da soma,
, sabemos que
(Passo 2), logo
também divide
. E obviamente
. Assim, pela linearidade da divisibilidade,
divide toda a soma, ou seja,