Problema 3.17. Sejam a e b dois números naturais não ambos nulos e seja d=mdc(a, b). Se a^prime e b^prime são os dois números naturais tais que a=a^prime times d e b=b^prime times d, mostre que mdc(a^prime, b^prime)=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois números naturais não ambos nulos a e b e definimos d=mdc(a,b). Em seguida escrevemos
a = d,a'
e
b = d,b'
com a',b'inN. Precisamos mostrar que
mdc(a',b') = 1

Passo 2

Pelo Teorema de Bézout, como d=mdc(a,b), existem inteiros x,y tais que
a,x + b,y = d
Substituindo a=d,a' e b=d,b' nessa igualdade, obtemos
d,a',x + d,b',y = d
e, dividindo ambos os lados por d, segue
a',x + b',y = 1

Passo 3

A equação
a',x + b',y = 1
mostra que 1 é combinação linear de a' e b'. Qualquer divisor comum de a' e b' deve dividir todas as suas combinações lineares, em particular deve dividir 1. Logo o maior divisor comum de a' e b' só pode ser 1.

Resposta

mdc(a',b')=1.

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