Q 5 (2,5 ptos) Uma equação
é conhecida como equação de Riccati. A seguir, sugerimos um método de solução para este tipo de equação. Considere
(a) Verifique que
é uma solução particular da equação acima;
(b) Agora, substituindo
, verifique que
satisfaz
(c) Resolva a equação (*).
(b) Agora, substituindo
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Riccati
e pede: (a) encontrar uma solução particular
; (b) usar a transformação
para reduzir a um EDO linear em
; (c) obter a solução geral de
. Para isso vamos precisar lembrar que, conhecendo uma solução particular de uma Riccati, a substituição acima leva a uma equação de Bernoulli que aqui fica linear.
Passo 2
Verificamos que
é solução particular. De fato,
enquanto o lado direito de
com
é
Como
, concluímos que
satisfaz
.
Passo 3
Substituímos
Então
Por outro lado, o lado direito de
fica
Igualando
ao lado direito:
Passo 4
A equação obtida para
é
Integrando, vem
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltando à transformação
, temos
Isso fornece a solução geral da equação de Riccati dada.
Resposta
(a)
(b)
(c) onde
é constante arbitrária.
(b)
(c)