Q 5 (2,5 ptos) Uma equação
\frac{d y}{d x}=q_{1}(x)+q_{2}(x) y+q_{3}(x) y^{2}
é conhecida como equação de Riccati. A seguir, sugerimos um método de solução para este tipo de equação. Considere
y^{\prime}=1+x^{2}-2 x y+y^{2}(*)
(a) Verifique que y_{1}(x)=x é uma solução particular da equação acima;
(b) Agora, substituindo y=y_{1}(x)+\frac{1}{v(x)} \mathrm{em}(*), verifique que v(x) satisfaz
\frac{d v}{d x}=-1
(c) Resolva a equação (*).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Riccati
y' = 1 + x^{2} - 2\,x\,y + y^{2}
e pede: (a) encontrar uma solução particular y_{1}(x); (b) usar a transformação
y = y_{1}(x) + \frac{1}{v(x)}
para reduzir a um EDO linear em v(x); (c) obter a solução geral de (*). Para isso vamos precisar lembrar que, conhecendo uma solução particular de uma Riccati, a substituição acima leva a uma equação de Bernoulli que aqui fica linear.

Passo 2

Verificamos que y_{1}(x)=x é solução particular. De fato,
y_{1}'(x)=1,
enquanto o lado direito de (*) com y=x é
1 + x^{2} - 2x\cdot x + x^{2} = 1 + x^{2} - 2x^{2} + x^{2} = 1.
Como y_{1}'(x)=1, concluímos que y_{1}(x)=x satisfaz (*).

Passo 3

Substituímos
y = x + \frac{1}{v(x)}.
Então
y' = 1 - \frac{v'}{v^{2}}.
Por outro lado, o lado direito de (*) fica
1 + x^{2} - 2x\Bigl(x+\frac{1}{v}\Bigr) + \Bigl(x+\frac{1}{v}\Bigr)^{2} =1 + \frac{1}{v^{2}}.
Igualando y' ao lado direito:
1 - \frac{v'}{v^{2}} = 1 + \frac{1}{v^{2}} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{v'}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d v}{d x} = -1.

Passo 4

A equação obtida para v é
\frac{dv}{dx} = -1.
Integrando, vem
v(x) = -\,x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Voltando à transformação y = x + 1/v, temos
y(x) = x + \frac{1}{\,v(x)\,} = x + \frac{1}{\,C - x\,}.
Isso fornece a solução geral da equação de Riccati dada.

Resposta

(a) y_{1}(x)=x
(b) \displaystyle \frac{dv}{dx}=-1
(c) \displaystyle y(x)=x+\frac{1}{C - x}, onde C é constante arbitrária.

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