Problema 19. Demonstre que se temos
então temos
e
. Podemos concluir que
? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade entre dois pares não-ordenados de conjuntos:
. As perguntas são claramente:
- Provar que
. - Provar que
. - Perguntar se a igualdade
também vale, e justificar a resposta.
Informações relevantes que temos direto do enunciado:
- A igualdade
significa que o conjunto formado por e (como elementos) é exatamente o mesmo conjunto formado por e . Em palavras: os dois elementos (que são conjuntos) coincidem como coleção, sem ordem.
Passo 2
Interpretação precisa de
. Vou mostrar porque isso implica que ou
e
ou
e
.
Justificativa: como
e
, então
. Pelo que significa “pertencer a um conjunto de dois elementos”, isso dá
ou
. Analogamente
ou
. Como
tem apenas esses dois elementos, não há outras possibilidades: os elementos
e
são exatamente os dois elementos
e
, possivelmente trocados de posição. Portanto, só existem as duas possibilidades mencionadas (caso 1: correspondência direta; caso 2: correspondência trocada).
Nota curta e útil: isto é a definição de igualdade entre conjuntos: dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos elementos. Para
isso força que o multiconjunto de elementos seja o mesmo — como aqui os elementos são conjuntos, conclui-se a alternativa “iguais ou trocadas”.
Passo 3
Prova de
.
Vamos tratar os dois casos que surgiram no passo anterior:
Caso 1:
e
.
Então é trivial porque são exatamente os mesmos conjuntos.
Então
Caso 2:
e
.
Então
Então
Mas a operação união é comutativa: para quaisquer conjuntos
vale
. Aplicando isso,
. Portanto também obtemos
.
Como as duas únicas possibilidades implicam a igualdade da união, concluímos que sempre, sob a hipótese
, vale
.
(Pequena explicação sobre comutatividade usada: a união reúne todos os elementos que pertencem a
ou a
; a ordem de
e
não altera essa coleção.)
Passo 4
Prova de
.
Usamos exatamente a mesma divisão em casos do passo 2:
Caso 1:
e
.
Então trivialmente.
Então
Caso 2:
e
.
Então
Então
A operação interseção também é comutativa: para quaisquer conjuntos
vale
. Assim
. Portanto
.
Logo, em qualquer caso que decorre de
, temos
.
(Uma intuição: interseção seleciona os elementos comuns aos dois conjuntos; trocar a ordem não muda quem é comum.)
Passo 5
Pergunta sobre diferença: será que
sempre vale?
Resposta curta: não, não vale em geral. A razão é que a operação diferença não é comutativa: em geral
difere de
. Como a hipótese
permite que
sejam apenas
possivelmente trocados, se o par estiver trocado a diferença pode mudar.
Vou dar um contraexemplo concreto e simples (isto basta para mostrar que a igualdade não segue da hipótese).
Passo 6
Contraexemplo explícito.
Escolho
Defino
Então claramente
(são os mesmos dois conjuntos, apenas rotulados de modo diferente).
Calcule as diferenças:
pois todo elemento de
(que é
) pertence também a
, então nada sobra.
pois
pertence a
e não a
.
Logo
. Assim a igualdade
falha neste exemplo. Portanto não se pode concluir, a partir de
, que as diferenças sejam iguais.
Observação final: se adicionalmente soubéssemos que a correspondência preserva a ordem (isto é, soubéssemos que
e
especificamente), então sim
. O problema é que a igualdade de pares não-ordenados não determina essa ordem.
Resposta
Não — em geral