Problema 19. Demonstre que se temos \{A, B\}=\{C, D\} então temos A \cap B=C \cap D e A \cup B=C \cup D. Podemos concluir que A \backslash B=C \backslash D ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade entre dois pares não-ordenados de conjuntos: \{A,B\}=\{C,D\}. As perguntas são claramente:
  • Provar que \;A\cap B = C\cap D\;.
  • Provar que \;A\cup B = C\cup D\;.
  • Perguntar se a igualdade \;A\setminus B = C\setminus D\; também vale, e justificar a resposta.
Informações relevantes que temos direto do enunciado:
  • A igualdade \{A,B\}=\{C,D\} significa que o conjunto formado por A e B (como elementos) é exatamente o mesmo conjunto formado por C e D. Em palavras: os dois elementos (que são conjuntos) coincidem como coleção, sem ordem.

Passo 2

Interpretação precisa de \{A,B\}=\{C,D\}. Vou mostrar porque isso implica que ou (A=C e B=D) ou (A=D e B=C).
Justificativa: como A\in\{A,B\} e \{A,B\}=\{C,D\}, então A\in\{C,D\}. Pelo que significa “pertencer a um conjunto de dois elementos”, isso dá A=C ou A=D. Analogamente B=C ou B=D. Como \{C,D\} tem apenas esses dois elementos, não há outras possibilidades: os elementos A e B são exatamente os dois elementos C e D, possivelmente trocados de posição. Portanto, só existem as duas possibilidades mencionadas (caso 1: correspondência direta; caso 2: correspondência trocada).
Nota curta e útil: isto é a definição de igualdade entre conjuntos: dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos elementos. Para \{A,B\}=\{C,D\} isso força que o multiconjunto de elementos seja o mesmo — como aqui os elementos são conjuntos, conclui-se a alternativa “iguais ou trocadas”.

Passo 3

Prova de \;A\cup B = C\cup D\;.
Vamos tratar os dois casos que surgiram no passo anterior:
Caso 1: A=C e B=D.
Então \;A\cup B = C\cup D\; é trivial porque são exatamente os mesmos conjuntos.
Caso 2: A=D e B=C.
Então
A\cup B = D\cup C.
Mas a operação união é comutativa: para quaisquer conjuntos X,Y vale \;X\cup Y = Y\cup X\;. Aplicando isso, D\cup C = C\cup D. Portanto também obtemos A\cup B = C\cup D.
Como as duas únicas possibilidades implicam a igualdade da união, concluímos que sempre, sob a hipótese \{A,B\}=\{C,D\}, vale \;A\cup B = C\cup D\;.
(Pequena explicação sobre comutatividade usada: a união reúne todos os elementos que pertencem a X ou a Y; a ordem de X e Y não altera essa coleção.)

Passo 4

Prova de \;A\cap B = C\cap D\;.
Usamos exatamente a mesma divisão em casos do passo 2:
Caso 1: A=C e B=D.
Então \;A\cap B = C\cap D\; trivialmente.
Caso 2: A=D e B=C.
Então
A\cap B = D\cap C.
A operação interseção também é comutativa: para quaisquer conjuntos X,Y vale \;X\cap Y = Y\cap X\;. Assim D\cap C = C\cap D. Portanto A\cap B = C\cap D.
Logo, em qualquer caso que decorre de \{A,B\}=\{C,D\}, temos \;A\cap B = C\cap D\;.
(Uma intuição: interseção seleciona os elementos comuns aos dois conjuntos; trocar a ordem não muda quem é comum.)

Passo 5

Pergunta sobre diferença: será que \;A\setminus B = C\setminus D\; sempre vale?
Resposta curta: não, não vale em geral. A razão é que a operação diferença não é comutativa: em geral X\setminus Y difere de Y\setminus X. Como a hipótese \{A,B\}=\{C,D\} permite que C,D sejam apenas A,B possivelmente trocados, se o par estiver trocado a diferença pode mudar.
Vou dar um contraexemplo concreto e simples (isto basta para mostrar que a igualdade não segue da hipótese).

Passo 6

Contraexemplo explícito.
Escolho
A=\{1\},\qquad B=\{1,2\}.
Defino
C=B=\{1,2\},\qquad D=A=\{1\}.
Então claramente \{A,B\}=\{\{1\},\{1,2\}\}=\{C,D\} (são os mesmos dois conjuntos, apenas rotulados de modo diferente).
Calcule as diferenças:
A\setminus B = \{1\}\setminus\{1,2\} = \varnothing,
pois todo elemento de A (que é 1) pertence também a B, então nada sobra.
C\setminus D = \{1,2\}\setminus\{1\} = \{2\},
pois 2 pertence a C e não a D.
Logo A\setminus B = \varnothing \neq \{2\} = C\setminus D. Assim a igualdade \;A\setminus B = C\setminus D\; falha neste exemplo. Portanto não se pode concluir, a partir de \{A,B\}=\{C,D\}, que as diferenças sejam iguais.
Observação final: se adicionalmente soubéssemos que a correspondência preserva a ordem (isto é, soubéssemos que A=C e B=D especificamente), então sim A\setminus B = C\setminus D. O problema é que a igualdade de pares não-ordenados não determina essa ordem.

Resposta

A \cap B = C \cap D
A \cup B = C \cup D
Não — em geral A \setminus B \neq C \setminus D.

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