Problema 20. Mostre que as três sentenças abaixo são equivalentes.
i) A \subset B.
ii) A \cap B=A.
iii) A \cup B=B.
iv) A \backslash B=\varnothing.

Passo 1

O enunciado dá quatro afirmações envolvendo conjuntos e pede para mostrar que elas são equivalentes. As quatro afirmações são:
  • (i) A \subset B.
  • (ii) A \cap B = A.
  • (iii) A \cup B = B.
  • (iv) A \backslash B = \varnothing.
O que precisa ser mostrado: cada uma dessas afirmações implica as demais, isto é, todas descrevem a mesma relação entre A e B. Vou provar as implicações necessárias de forma clara, usando a técnica padrão de “provar inclusões” para igualdades de conjuntos e “provar por elemento arbitrário” quando for conveniente.

Passo 2

Primeiro, um rápido lembrete didático dos conceitos que vou usar (com exemplos simples para a intuição):
  • A \subset B significa: "todo elemento de A também pertence a B". Ex.: se A=\{1,2\} e B=\{1,2,3\}, então A\subset B.
  • A\cap B é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a A e a B. Ex.: se A=\{1,2\} e B=\{2,3\}, então A\cap B=\{2\}.
  • A\cup B é o conjunto dos elementos que pertencem a A ou a B (ou a ambos). Ex.: com A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, temos A\cup B=\{1,2,3\}.
  • A\backslash B (ou A\setminus B) é o conjunto dos elementos que estão em A e não estão em B. Ex.: com A=\{1,2\}, B=\{2,3\}, temos A\backslash B=\{1\}.
  • \varnothing é o conjunto vazio, isto é, não tem elementos.
Métodos usados frequentemente:
  • Para provar igualdade X=Y entre conjuntos, mostro que X\subset Y e Y\subset X (duas inclusões).
  • Para provar que um conjunto é vazio, mostro que não existe elemento que satisfaça a condição de pertencer a ele (ou seja, suponha que exista e chegue a contradição).

Passo 3

Provar (i)\Rightarrow(ii): suponha A\subset B. Quero mostrar A\cap B=A.
  1. Sempre vale A\cap B \subset A porque a interseção só pega elementos que estão em A (definição de interseção). Isso é verdadeiro para quaisquer conjuntos.
  2. Para a outra inclusão, pego um elemento arbitrário x\in A. Como A\subset B, esse x também pertence a B. Logo x\in A e x\in B, o que significa x\in A\cap B. Assim A\subset A\cap B.
Juntando 1) e 2) obtém-se A\cap B=A. Intuição: se todo elemento de A já está em B, então "o que está em A e em B" é exatamente A.

Passo 4

Provar (ii)\Rightarrow(i): suponha A\cap B = A. Quero mostrar A\subset B.
Tome x\in A. Como A = A\cap B, temos x\in A\cap B. Então x\in B. Como x foi um elemento arbitrário de A, isso mostra que todo elemento de A pertence a B, ou seja, A\subset B.
Observação: dos passos 3 e 4 segue que (i) e (ii) são equivalentes.

Passo 5

Provar (i)\Rightarrow(iii): suponha A\subset B. Quero mostrar A\cup B = B.
  1. Sempre vale B \subset A\cup B, pois A\cup B contém todos os elementos de B.
  2. Para a outra inclusão, pego x\in A\cup B. Então x\in A ou x\in B. Se x\in B já está ok. Se x\in A, então como A\subset B obtemos x\in B. Em qualquer caso x\in B. Logo A\cup B \subset B.
Com 1) e 2) temos A\cup B = B. Intuição: se tudo de A já está em B, juntar A com B não adiciona nada novo além de B.

Passo 6

Provar (iii)\Rightarrow(i): suponha A\cup B = B. Quero mostrar A\subset B.
Tome x\in A. Então x\in A\cup B. Como A\cup B = B, segue x\in B. Como x foi arbitrário, A\subset B.
Assim (i) e (iii) são equivalentes.

Passo 7

Provar (i)\Rightarrow(iv): suponha A\subset B. Quero mostrar A\backslash B=\varnothing.
Prova por contradição direta: suponha que exista x\in A\backslash B. Então x\in A e x\notin B. Mas A\subset B implica que todo elemento de A está em B, contradizendo x\notin B. Logo não existe tal x, portanto A\backslash B=\varnothing.
Intuição: não há elementos de A que fiquem “fora” de B se A\subset B.

Passo 8

Provar (iv)\Rightarrow(i): suponha A\backslash B=\varnothing. Quero mostrar A\subset B.
Tome x\in A. Se x\notin B, então x\in A\backslash B, mas por hipótese A\backslash B=\varnothing, o que é impossível. Portanto não pode ocorrer x\notin B; assim x\in B. Como x foi arbitrário, todo elemento de A pertence a B, isto é, A\subset B.
Portanto (iv) implica (i).

Passo 9

Conclusão final (estrutura da equivalência): mostramos que
  • (i) implica (ii), (iii) e (iv);
  • cada uma de (ii), (iii) e (iv) implica (i).
Logo todas as quatro afirmações são logicamente equivalentes: cada uma vale exatamente quando qualquer outra vale. Em termos práticos, elas são formas diferentes de afirmar a mesma coisa — que A está contido em B.
Um exemplo concreto para fixar a intuição: se A=\{1,2\} e B=\{1,2,3\}, então A\subset B é verdadeiro; daí A\cap B=A, A\cup B=B e A\backslash B=\varnothing são verdadeiros também. Se, em vez disso, A=\{1,2\} e B=\{2,3\}, então A\subset B é falso e pelo mesmo motivo as outras afirmações também são falsas.
Força aí — essa é uma daquelas propriedades que vira automática depois de alguns exercícios. 😃

Resposta

(i), (ii), (iii) e (iv) são equivalentes.

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