Problema 20. Mostre que as três sentenças abaixo são equivalentes.
i)
.
ii)
.
iii)
.
iv)
.
i)
ii)
iii)
iv)
Passo 1
O enunciado dá quatro afirmações envolvendo conjuntos e pede para mostrar que elas são equivalentes. As quatro afirmações são:
- (i)
. - (ii)
. - (iii)
. - (iv)
.
O que precisa ser mostrado: cada uma dessas afirmações implica as demais, isto é, todas descrevem a mesma relação entre
e
. Vou provar as implicações necessárias de forma clara, usando a técnica padrão de “provar inclusões” para igualdades de conjuntos e “provar por elemento arbitrário” quando for conveniente.
Passo 2
Primeiro, um rápido lembrete didático dos conceitos que vou usar (com exemplos simples para a intuição):
-
significa: "todo elemento de também pertence a ". Ex.: se e , então . -
é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a e a . Ex.: se e , então . -
é o conjunto dos elementos que pertencem a ou a (ou a ambos). Ex.: com , , temos . -
(ou ) é o conjunto dos elementos que estão em e não estão em . Ex.: com , , temos . -
é o conjunto vazio, isto é, não tem elementos.
Métodos usados frequentemente:
- Para provar igualdade
entre conjuntos, mostro que e (duas inclusões). - Para provar que um conjunto é vazio, mostro que não existe elemento que satisfaça a condição de pertencer a ele (ou seja, suponha que exista e chegue a contradição).
Passo 3
Provar
: suponha
. Quero mostrar
.
-
Sempre vale
porque a interseção só pega elementos que estão em (definição de interseção). Isso é verdadeiro para quaisquer conjuntos. -
Para a outra inclusão, pego um elemento arbitrário
. Como , esse também pertence a . Logo e , o que significa . Assim .
Juntando 1) e 2) obtém-se
. Intuição: se todo elemento de
já está em
, então "o que está em
e em
" é exatamente
.
Passo 4
Provar
: suponha
. Quero mostrar
.
Tome
. Como
, temos
. Então
. Como
foi um elemento arbitrário de
, isso mostra que todo elemento de
pertence a
, ou seja,
.
Observação: dos passos 3 e 4 segue que (i) e (ii) são equivalentes.
Passo 5
Provar
: suponha
. Quero mostrar
.
-
Sempre vale
, pois contém todos os elementos de . -
Para a outra inclusão, pego
. Então ou . Se já está ok. Se , então como obtemos . Em qualquer caso . Logo .
Com 1) e 2) temos
. Intuição: se tudo de
já está em
, juntar
com
não adiciona nada novo além de
.
Passo 6
Provar
: suponha
. Quero mostrar
.
Tome
. Então
. Como
, segue
. Como
foi arbitrário,
.
Assim (i) e (iii) são equivalentes.
Passo 7
Provar
: suponha
. Quero mostrar
.
Prova por contradição direta: suponha que exista
. Então
e
. Mas
implica que todo elemento de
está em
, contradizendo
. Logo não existe tal
, portanto
.
Intuição: não há elementos de
que fiquem “fora” de
se
.
Passo 8
Provar
: suponha
. Quero mostrar
.
Tome
. Se
, então
, mas por hipótese
, o que é impossível. Portanto não pode ocorrer
; assim
. Como
foi arbitrário, todo elemento de
pertence a
, isto é,
.
Portanto (iv) implica (i).
Passo 9
Conclusão final (estrutura da equivalência): mostramos que
- (i) implica (ii), (iii) e (iv);
- cada uma de (ii), (iii) e (iv) implica (i).
Logo todas as quatro afirmações são logicamente equivalentes: cada uma vale exatamente quando qualquer outra vale. Em termos práticos, elas são formas diferentes de afirmar a mesma coisa — que
está contido em
.
Um exemplo concreto para fixar a intuição: se
e
, então
é verdadeiro; daí
,
e
são verdadeiros também. Se, em vez disso,
e
, então
é falso e pelo mesmo motivo as outras afirmações também são falsas.
Força aí — essa é uma daquelas propriedades que vira automática depois de alguns exercícios. 😃
Resposta
(i), (ii), (iii) e (iv) são equivalentes.