Problema 3.22. Mostre que um número
escrito no sistema decimal como
deixa resto
quando dividido por 10. Como se relacionam os restos da divisão de
por 2 ou 5 com os restos da divisão de
por 2 ou 5 ?
Passo 1
O enunciado trata de um número inteiro
escrito em base decimal como
onde cada dígito
satisfaz
. Precisamos mostrar que, ao dividir
por
, o resto é exatamente o último dígito
. Em seguida, relacionar esse fato aos restos de
nas divisões por
e por
.
Passo 2
Observe que podemos agrupar todos os termos, exceto
, colocando um fator
em evidência. Definindo
vemos que
Passo 3
Pela fórmula da divisão com resto, se escrevermos
então, ao dividir
por
, o quociente é
e o resto é
, desde que
. Logo o resto de
na divisão por
é
Passo 4
Como
e
são divisores de
, qualquer congruência módulo
implica congruências módulo
e módulo
. De
vem imediatamente
Isso significa que o resto de
na divisão por
é igual ao resto de
na divisão por
, e o mesmo para o divisor
.
Resposta
O resto de
na divisão por
é
.
O resto de na divisão por
é igual ao resto de
na divisão por
.
O resto de na divisão por
é igual ao resto de
na divisão por
.
O resto de
O resto de