Problema 3.22. Mostre que um número n escrito no sistema decimal como nr ldots n1 n0 deixa resto n0 quando dividido por 10. Como se relacionam os restos da divisão de n por 2 ou 5 com os restos da divisão de n0 por 2 ou 5 ?

Passo 1

O enunciado trata de um número inteiro n escrito em base decimal como
n = nr,10^r + nr-1,10^r-1 + cdots + n1,10 + n0,
onde cada dígito ni satisfaz 0<= ni<=9. Precisamos mostrar que, ao dividir n por 10, o resto é exatamente o último dígito n0. Em seguida, relacionar esse fato aos restos de n nas divisões por 2 e por 5.

Passo 2

Observe que podemos agrupar todos os termos, exceto n0, colocando um fator 10 em evidência. Definindo
m = nr,10^r-1 + nr-1,10^r-2 + cdots + n1,
vemos que
n = 10,m + n0

Passo 3

Pela fórmula da divisão com resto, se escrevermos
n = 10,m + n0,
então, ao dividir n por 10, o quociente é m e o resto é n0, desde que 0<= n0<10. Logo o resto de n na divisão por 10 é
boxedn0

Passo 4

Como 2 e 5 são divisores de 10, qualquer congruência módulo 10 implica congruências módulo 2 e módulo 5. De
n = 10,m + n0 Longrightarrow n equiv n0 pmod10
vem imediatamente
n equiv n0 pmod2 e n equiv n0 pmod5
Isso significa que o resto de n na divisão por 2 é igual ao resto de n0 na divisão por 2, e o mesmo para o divisor 5.

Resposta

O resto de n na divisão por 10 é n0.
O resto de n na divisão por 2 é igual ao resto de n0 na divisão por 2.
O resto de n na divisão por 5 é igual ao resto de n0 na divisão por 5.

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