• Problema 5.30. Uma função varphi:[a, b] R é uma função escalonada se existe uma partição a=x0<x1< cdots<xn=b tal que varphi é constante em (xi-1, xi). Prove que toda função contínua pode ser uniformemente aproximada por funções escalonadas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda função contínua f:[a,b]toR pode ser uniformemente aproximada por funções escalonadas, isto é, dadas varepsilon>0 devemos construir uma função escalonada varphi tal que
supxin[a,b]|f(x)-varphi(x)|<varepsilon
Vamos usar o fato de que em um intervalo compacto toda função contínua é uniformemente contínua.

Passo 2

Como f é contínua em [a,b] e [a,b] é compacto, por Heine–Cantor f é uniformemente contínua. Logo, existe de<a>0 tal que
|x-y|<de<aLongrightarrow |f(x)-f(y)|<varepsilon

Passo 3

Escolhemos uma partição regular de passo menor que de<a. Seja ninN tal que
b-an<de<a
Definimos xi = a + ib-an para i=0,1,dots,n. Então maxi(xi-xi-1) = tfracb-an<de<a.

Passo 4

Definimos a função escalonada varphi por
varphi(x) = f(xi-1) se x in [xi-1, xi), i=1,dots,n,
e varphi(b) = f(xn-1). Em cada intervalo de comprimento <de<a, varphi toma o valor de f na borda esquerda.

Passo 5

Para xin[xi-1,xi] temos |x - xi-1|<= xi-xi-1<de<a. Pela uniformidade,
|f(x)-varphi(x)| = |f(x)-f(xi-1)|<varepsilon
Isso vale para todo xin[a,b], logo
supxin[a,b]|f(x)-varphi(x)|<varepsilon

Resposta

Dada varepsilon>0, escolhemos n tal que tfracb-an<de<a e construímos a escalonada varphi constante em cada subintervalo de comprimento tfracb-an. Assim sup[a,b]|f-varphi|<varepsilon, concluindo que f pode ser uniformemente aproximada por funções escalonadas.

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