- Problema 5.30. Uma função
é uma função escalonada se existe uma partição
tal que
é constante em
. Prove que toda função contínua pode ser uniformemente aproximada por funções escalonadas.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda função contínua
pode ser uniformemente aproximada por funções escalonadas, isto é, dadas
devemos construir uma função escalonada
tal que
Vamos usar o fato de que em um intervalo compacto toda função contínua é uniformemente contínua.
Passo 2
Como
é contínua em
e
é compacto, por Heine–Cantor
é uniformemente contínua. Logo, existe
tal que
Passo 3
Escolhemos uma partição regular de passo menor que
. Seja
tal que
Definimos
para
. Então
.
Passo 4
Definimos a função escalonada
por
e
. Em cada intervalo de comprimento
,
toma o valor de
na borda esquerda.
Passo 5
Para
temos
. Pela uniformidade,
Isso vale para todo
, logo
Resposta
Dada
, escolhemos
tal que
e construímos a escalonada
constante em cada subintervalo de comprimento
. Assim
, concluindo que
pode ser uniformemente aproximada por funções escalonadas.