1. (Problema 36) Um carro se move ao longo do eixo x por uma distância de 1000 m , partindo do repouso (em x=0 ) e terminando em repouso ( e m x=1000 m ). No primeiro quarto do percurso, a aceleração é +2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Nos outros três quartos, a aceleração passa a ser -0,650 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. (a) Qual é o tempo necessário para percorrer os 1000 m e (b) qual é a velocidade máxima? (c) Desenhe os gráficos da posição x, da velocidade v e da aceleração a em função do tempo t.

Passo 1

O enunciado dá um carro que percorre 1000\\ \mathrm{m} ao longo do eixo x, partindo do repouso em x=0 e (alegadamente) terminando em repouso em x=1000\\ \mathrm{m}. As informações numéricas são:
\text{distância total }=1000\\ \mathrm{m}â
\text{primeiro quarto do percurso }=\frac{1000}{4}=250\\ \mathrm{m}
a_1=+2{,}00\\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{(durante os primeiros }250\\ \mathrm{m}\text{)}
a_2=-0{,}650\\ \mathrm{m/s^2}\quad\text{(durante os outros }750\\ \mathrm{m}\text{)}
O que a questão pede:
(a) o tempo necessário para percorrer os 1000\\ \mathrm{m};
(b) a velocidade máxima atingida;
(c) desenhar (isto é, descrever) os gráficos de x(t), v(t) e a(t).
Observação importante (vou tratar isso com calma mais à frente): ao aplicar os números dados encontramos que, com essas acelerações e divisões de distância, o carro NÃO fica em repouso exatamente em x=1000\\ \mathrm{m} — ele chega com velocidade diferente de zero. Vou mostrar isso passo a passo; depois explico como desenhar os gráficos correspondentes à história física realmente dada pelos números.

Passo 2

Ferramentas (relembrando as fórmulas de cinemática para aceleração constante; explico cada símbolo):
  • v é a velocidade instantânea (m/s).
  • v_0 é a velocidade inicial do trecho considerado (m/s).
  • a é a aceleração constante no trecho (m/s ^2).
  • s é o deslocamento no trecho (m).
  • t é o tempo decorrido no trecho (s).
As fórmulas que vamos usar (válidas para aceleração constante) são:
v = v_0 + a\,t
s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
v^2 = v_0^2 + 2 a s
Explicação rápida: a primeira vem da definição de aceleração como taxa de variação de velocidade; a segunda é a integral dessa velocidade no tempo (área sob v(t)); a terceira é obtida eliminando t entre as duas primeiras e é muito útil quando você conhece deslocamento mas não o tempo.
Vamos aplicar essas fórmulas segmento a segmento (o método mais direto quando a aceleração é diferente em partes distintas do percurso).

Passo 3

Primeiro segmento (dos 0 a 250\\ \mathrm{m}):
  • Condição inicial: v_0=0 (parte do repouso).
  • Aceleração: a_1=+2{,}00\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Deslocamento: s_1=250\\ \mathrm{m}.
Usamos \displaystyle v^2 = v_0^2 + 2 a s para achar a velocidade ao fim do primeiro trecho (essa será a velocidade máxima se depois o carro só desacelera):
v_1^2 = 0 + 2\cdot a_1 \cdot s_1 = 2\cdot 2{,}00 \cdot 250 = 1000.
Portanto
v_1 = \sqrt{1000}=31{,}6227766\\ \mathrm{m/s}\approx 31{,}62\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: ao fim dos primeiros 250\\ \mathrm{m} a velocidade é 31{,}62\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Tempo gasto no primeiro segmento:
Podemos usar v=v_0 + a t com v_0=0, logo
t_1 = \frac{v_1}{a_1}=\frac{31{,}6227766}{2{,}00}=15{,}8113883\\ \mathrm{s}\approx 15{,}81\\ \mathrm{s}.
Verificação alternativa (útil para prova): usando s=\tfrac12 a t^2 com a=2 t^2=2s/a=500/2=250 e t=\sqrt{250}=15{,}811\ldots, a mesma coisa — e fica fácil, pois aqui x(t)=t^2 (em metros) durante o primeiro trecho porque \tfrac12 a_1 =1.

Passo 5

Segundo segmento (dos 250\\ \mathrm{m} até 1000\\ \mathrm{m}; deslocamento s_2=750\\ \mathrm{m}):
  • Velocidade inicial neste trecho: v_1=31{,}6227766\\ \mathrm{m/s}.
  • Aceleração: a_2=-0{,}650\\ \mathrm{m/s^2}.
    Queremos o tempo t_2 necessário para percorrer s_2=750\\ \mathrm{m} sob \,v(t)=v_1+a_2 t.
Usamos a equação do deslocamento com origem no início do segundo trecho:
s_2 = v_1 t_2 + \tfrac{1}{2} a_2 t_2^2.
Substituindo números:
750 = 31{,}6227766\\ t_2 + \tfrac{1}{2}(-0{,}650)\,t_2^2.
Escrevendo como uma quadrática padrão (multiplicando por -1 para facilitar a leitura):
0{,}325\, t_2^2 - 31{,}6227766\, t_2 + 750 = 0.
Aplicando fórmula de Bhaskara, o discriminante é
\Delta = (31{,}6227766)^2 - 4\cdot 0{,}325\cdot 750 = 1000 - 975 = 25.
Então \sqrt{\Delta}=5 e as raízes são
t_2 = \frac{31{,}6227766 \pm 5}{0{,}65}.
Isso dá duas soluções:
t_{2a}=\frac{31{,}6227766-5}{0{,}65}=40{,}9581186\\ \mathrm{s},
t_{2b}=\frac{31{,}6227766+5}{0{,}65}=56{,}344270\\ \mathrm{s}.
Qual escolher? Física e interpretação: como a velocidade inicial do trecho é positiva e a aceleração é negativa, a posição cresce até o momento em que a velocidade se anula; depois o carro poderia voltar (se continuasse) e passar novamente pela mesma posição em sentido contrário — por isso existem duas raízes. A raiz menor corresponde ao movimento à frente do ponto inicial do trecho antes de parar; a raiz maior seria um instante posterior (se o carro tivesse ido até parar e voltado). Nós queremos o primeiro instante em que o carro alcança 750\\ \mathrm{m} do segundo trecho (isto é, x=1000\\ \mathrm{m} do ponto original), então escolhemos a raiz menor:
t_2 \approx 40{,}9581186\\ \mathrm{s}\approx 40{,}96\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Velocidade ao chegar em x=1000\\ \mathrm{m} (fim do segundo trecho):
Usamos v=v_1 + a_2 t_2:
v_{\text{final}} = 31{,}6227766 + (-0{,}65)\cdot 40{,}9581186.
Calcule:
v_{\text{final}} \approx 31{,}6227766 - 26{,}6227761 = 5{,}0000005\\ \mathrm{m/s}\approx 5{,}00\\ \mathrm{m/s}.
Portanto, com os números dados o carro chega em x=1000\\ \mathrm{m} com velocidade aproximadamente 5{,}00\\ \mathrm{m/s}, ou seja, não está em repouso. Isso mostra que a frase do enunciado “terminando em repouso (em x=1000\\ \mathrm{m})” é inconsistente com as acelerações e divisões de distância fornecidas. Se realmente o carro devesse terminar em repouso em 1000\\ \mathrm{m}, os números dados precisariam ser diferentes.
Mesmo assim, a pergunta (a) pede o tempo para percorrer os 1000\\ \mathrm{m} segundo a história numérica dada — então somamos os tempos dos dois trechos.

Passo 7

Tempo total:
t_{\text{total}} = t_1 + t_2 \approx 15{,}8113883 + 40{,}9581186 = 56{,}7695069\\ \mathrm{s}\approx 56{,}77\\ \mathrm{s}.

Passo 8

Velocidade máxima:
  • Durante o primeiro trecho a velocidade cresce desde 0 até v_1.
  • No segundo trecho a velocidade diminui (aceleração negativa).
    Logo a velocidade máxima ao longo do percurso ocorre ao final do primeiro trecho e vale
v_{\max}=v_1\approx 31{,}62\\ \mathrm{m/s}.

Passo 9

Fórmulas e instruções para desenhar os gráficos [x(t)), v(t) e a(t) (isto permite você traçar os gráficos na prova):
Definimos t_1\approx 15{,}8113883\\ \mathrm{s} e t_2\approx 40{,}9581186\\ \mathrm{s} e t_{\text{total}}\approx 56{,}7695069\\ \mathrm{s}.
  • Aceleração a(t) (gráfico em degraus, constante em cada trecho):
a(t)=\begin{cases} +2{,}00\\ \mathrm{m/s^2}, & 0\le t\le t_1,\\[4pt] -0{,}650\\ \mathrm{m/s^2}, & t_1< t \le t_{\text{total}}. \end{cases}
Desenho: retângulo em +2{,}00\] até \[t_1, depois salto (descontinuidade) para -0{,}650 e permanece até t_{\text{total}}.
  • Velocidade v(t) (duas retas, porque a é constante em cada trecho):
v(t)=\begin{cases} 0 + 2{,}00\\ t = 2t, & 0\le t\le t_1,\\[4pt] v_1 + (-0{,}65)(t-t_1), & t_1< t \le t_{\text{total}}. \end{cases}
Números-chave: v(0)=0\], \(v(t_1)=v_1\approx 31{,}62\\ \mathrm{m/s}, v(t_{\text{total}})\approx 5{,}00\\ \mathrm{m/s}. O gráfico é uma reta crescente (inclinação +2) até t_1, depois uma reta decrescente (inclinação -0{,}65).
  • Posição x(t) (duas parábolas / polinômios quadráticos, contínua em t_1):
    Para 0\le t\le t_1:
x(t)=\tfrac12 a_1 t^2 = t^2\quad(\text{em metros, pois }\tfrac12\cdot 2=1).
Para t_1< t\le t_{\text{total}}, com \tau=t-t_1:
x(t)=250 + v_1\,\tau + \tfrac12 a_2\,\tau^2
onde v_1\approx 31{,}62\\ \mathrm{m/s} e a_2=-0{,}65. Isso dá x(t_{\text{total}})=1000\\ \mathrm{m} por construção. O gráfico é uma parábola côncava para cima no primeiro trecho (porque a_1>0) e uma parábola côncava para baixo no segundo trecho (porque a_2<0), com continuidade em x(t_1)=250\\ \mathrm{m}.
Dicas de esboço: marque os pontos (0,0), (t_1,250), (t_{\text{total}},1000) e para v(t) marque (0,0), (t_1,31{,}62), (t_{\text{total}},5{,}00). O gráfico de a(t) é um degrau entre +2{,}00 e -0{,}65 em t_1.]

Resposta

(a) t_{\text{total}}\approx 56{,}77\\ \mathrm{s}.
(b) v_{\max}\approx 31{,}62\\ \mathrm{m/s}.
(c) Gráficos: a(t)=+2{,}00 para 0\le t\le 15{,}81\\ \mathrm{s} e a(t)=-0{,}650 para 15{,}81<t\le 56{,}77\\ \mathrm{s}; v(t)=2t para 0\le t\le 15{,}81\\ \mathrm{s} e v(t)=31{,}62-0{,}65(t-15{,}81) para 15{,}81<t\le 56{,}77\\ \mathrm{s}; x(t)=t^2 para 0\le t\le 15{,}81\\ \mathrm{s} e x(t)=250+31{,}62\,(t-15{,}81)-0{,}325\,(t-15{,}81)^2 para 15{,}81<t\le 56{,}77\\ \mathrm{s}.
Observação final: com os números dados o carro chega em x=1000\\ \mathrm{m} com v\approx 5{,}00\\ \mathrm{m/s}, portanto a afirmação “terminando em repouso” é inconsistente com as acelerações fornecidas.

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