Problema 3.36. Sendo n um número inteiro qualquer, mostre que o número n(n+1)(2 n+1) é sempre múltiplo de 6 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n, o produto n(n+1)(2n+1) é múltiplo de 6. Vamos usar divisibilidade: primeiro mostramos que é múltiplo de 2 e depois que é múltiplo de 3. Como 2 e 3 são coprimos, concluímos que 6 divide o produto.

Passo 2

Divisibilidade por 2. Entre dois inteiros consecutivos n e n+1, um deles é par, logo
2 mid n(n+1)
Como 2n+1 é inteiro, segue que
2 mid n(n+1)(2n+1)

Passo 3

Divisibilidade por 3. Analisamos as três classes de resto de n módulo 3:
  1. Se nequiv 0pmod3, então 3mid n e logo 3mid n(n+1)(2n+1).
  2. Se nequiv 1pmod3, então 2n+1equiv 2cdot1+1=3equiv 0pmod3, daí 3mid(2n+1) e assim 3mid n(n+1)(2n+1).
  3. Se nequiv 2pmod3, então n+1equiv 2+1=3equiv 0pmod3, daí 3mid(n+1) e assim 3mid n(n+1)(2n+1).
Logo, em todos os casos, 3mid n(n+1)(2n+1).

Passo 4

Como estabelecemos que
2 mid n(n+1)(2n+1) e 3 mid n(n+1)(2n+1),
e gcd(2,3)=1, concluímos que
6 = lcm(2,3) mid n(n+1)(2n+1)

Resposta

O número n(n+1)(2n+1) é sempre múltiplo de 6.

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