Problema 3.36. Sendo
um número inteiro qualquer, mostre que o número
é sempre múltiplo de 6 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, o produto
é múltiplo de 6. Vamos usar divisibilidade: primeiro mostramos que é múltiplo de 2 e depois que é múltiplo de 3. Como 2 e 3 são coprimos, concluímos que 6 divide o produto.
Passo 2
Divisibilidade por 2. Entre dois inteiros consecutivos
e
, um deles é par, logo
Como
é inteiro, segue que
Passo 3
Divisibilidade por 3. Analisamos as três classes de resto de
módulo 3:
- Se
, então e logo . - Se
, então daí e assim . - Se
, então daí e assim .
Logo, em todos os casos,
.
Passo 4
Como estabelecemos que
e
, concluímos que
Resposta
O número
é sempre múltiplo de 6.