Questão:(20 pontos) Seja
.
(a) (5 pontos) Encontre o domínio de
.
(b) (15 pontos) Usando as propriedades da derivação, calcule
.
(a) (5 pontos) Encontre o domínio de
(b) (15 pontos) Usando as propriedades da derivação, calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função
. A questão está dividida em duas partes:
- Parte (a): Encontrar o domínio de
. - Parte (b): Calcular a derivada
usando as propriedades da derivação.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como derivar uma função quociente utilizando as regras de derivação.
Passo 2
Vamos começar com a Parte (a): Encontrar o domínio de
.
Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso de frações, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, para
, o denominador
não pode ser igual a zero.
Passo 3
Vamos encontrar os valores de
que fazem o denominador zero:
Resolvendo essa equação:
Portanto,
e
são os valores que tornam o denominador zero.
Passo 4
Assim, o domínio de
são todos os números reais menos esses dois valores que fazem o denominador zero.
Então, o domínio é:
Agora que resolvemos a parte (a), vamos para a Parte (b): Calcular a derivada
.
Passo 5
Para derivar
, vamos usar a Regra do Quociente. Essa regra diz que se temos uma função na forma
, então a derivada é:
Aqui, identificamos:
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
.
Derivando
:
Derivando
:
Passo 7
Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
Vamos simplificar o numerador passo a passo.
Passo 8
Expandindo o numerador:
E:
Subtraindo os dois:
Passo 9
Simplificando ainda mais o numerador:
Então, a derivada completa fica:
Podemos fatorar -2 se quisermos simplificar um pouco mais:
Resposta
O domínio de
é todos os números reais exceto
e
.
A derivada de
é: