2^a Questão:(20 pontos) Seja f(x)=x^2-sin 2 xx^2-4.
(a) (5 pontos) Encontre o domínio de f(x).
(b) (15 pontos) Usando as propriedades da derivação, calcule f^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos a função f(x) = x^2 - sin 2xx^2 - 4 . A questão está dividida em duas partes:
  • Parte (a): Encontrar o domínio de f(x) .
  • Parte (b): Calcular a derivada f'(x) usando as propriedades da derivação.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como derivar uma função quociente utilizando as regras de derivação.

Passo 2

Vamos começar com a Parte (a): Encontrar o domínio de f(x) .
Domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. No caso de frações, precisamos garantir que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, para f(x) = x^2 - sin 2xx^2 - 4 , o denominador x^2 - 4 não pode ser igual a zero.

Passo 3

Vamos encontrar os valores de x que fazem o denominador zero:
x^2 - 4 = 0
Resolvendo essa equação:
x^2 = 4 x = raiz4 x = pm 2
Portanto, x = 2 e x = -2 são os valores que tornam o denominador zero.

Passo 4

Assim, o domínio de f(x) são todos os números reais menos esses dois valores que fazem o denominador zero.
Então, o domínio é:
x in R | x neq 2 e x neq -2
Agora que resolvemos a parte (a), vamos para a Parte (b): Calcular a derivada f'(x) .

Passo 5

Para derivar f(x) = x^2 - sin 2xx^2 - 4 , vamos usar a Regra do Quociente. Essa regra diz que se temos uma função na forma u(x)v(x) , então a derivada é:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2
Aqui, identificamos:
  • u(x) = x^2 - sin 2x
  • v(x) = x^2 - 4

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) .
Derivando u(x) :
u(x) = x^2 - sin 2x u'(x) = 2x - cos 2x cdot 2 (usando a derivada do seno, ddx sin kx = k cos kx) u'(x) = 2x - 2cos 2x
Derivando v(x) :
v(x) = x^2 - 4 v'(x) = 2x

Passo 7

Agora, aplicamos a Regra do Quociente:
f'(x) = u'(x)v(x) - u(x)v'(x)[v(x)]^2 f'(x) = (2x - 2cos 2x)(x^2 - 4) - (x^2 - sin 2x)(2x)(x^2 - 4)^2
Vamos simplificar o numerador passo a passo.

Passo 8

Expandindo o numerador:
(2x - 2cos 2x)(x^2 - 4) = 2x(x^2 - 4) - 2cos 2x(x^2 - 4) = 2x^3 - 8x - 2x^2cos 2x + 8cos 2x
E:
(x^2 - sin 2x)(2x) = 2x^3 - 2x sin 2x
Subtraindo os dois:
2x^3 - 8x - 2x^2cos 2x + 8cos 2x - (2x^3 - 2x sin 2x) = 2x^3 - 8x - 2x^2cos 2x + 8cos 2x - 2x^3 + 2x sin 2x = -8x - 2x^2cos 2x + 8cos 2x + 2x sin 2x

Passo 9

Simplificando ainda mais o numerador:
-8x - 2x^2cos 2x + 8cos 2x + 2x sin 2x
Então, a derivada completa fica:
f'(x) = -8x - 2x^2cos 2x + 8cos 2x + 2x sin 2x(x^2 - 4)^2
Podemos fatorar -2 se quisermos simplificar um pouco mais:
f'(x) = -2x^2cos 2x + 2x sin 2x - 8x + 8cos 2x(x^2 - 4)^2

Resposta

O domínio de f(x) é todos os números reais exceto x = 2 e x = -2 .
A derivada de f(x) é:
f'(x) = -8x - 2x^2cos 2x + 8cos 2x + 2x sin 2x(x^2 - 4)^2

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