3^a Questão:(20 pontos) Calcule o limite lim x 2 4-raiz3 x+10x-2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 2 4-raiz3 x+10x-2. Esse problema faz parte do tópico de limites em cálculo. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de manipulação algébrica para simplificar a expressão e eliminar a indeterminação que aparece quando substituímos diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 2 diretamente na expressão para ver o que acontece:
4 - raiz3(2) + 102 - 2 = 4 - raiz6 + 100 = 4 - 40 = 00
Encontramos a forma indeterminada 00, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma expressão com uma raiz quadrada, como raiz3x + 10, uma técnica útil é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de 4 - raiz3x + 10 é 4 + raiz3x + 10. Vamos fazer isso:
4 - raiz3x + 10x - 2 times 4 + raiz3x + 104 + raiz3x + 10

Passo 4

Agora, vamos multiplicar as expressões no numerador e no denominador:
Numerador:
(4 - raiz3x + 10)(4 + raiz3x + 10) = 4^2 - (raiz3x + 10)^2 = 16 - (3x + 10) = 6 - 3x
Denominador:
(x - 2)(4 + raiz3x + 10)
Então, a expressão fica:
6 - 3x(x - 2)(4 + raiz3x + 10)

Passo 5

Vamos fatorar o numerador:
6 - 3x = -3x + 6 = -3(x - 2)
Substituindo na expressão, temos:
-3(x - 2)(x - 2)(4 + raiz3x + 10)
Podemos cancelar o termo (x - 2) que aparece no numerador e no denominador:
-34 + raiz3x + 10

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir x = 2 diretamente:
-34 + raiz3(2) + 10 = -34 + raiz6 + 10 = -34 + 4 = -38

Resposta

O limite é -dfrac38.

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