Problema 41.

A reta definida por
2 x-y-4=0
é tangente a uma hipérbole, cujos focos estão nos pontos
F_{1}=(-3,0), \quad F_{2}=(3,0)
Obtenha a equação da hipérbole.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos:
    • A reta tangente é 2x - y - 4 = 0.
    • Os focos da hipérbole são F_{1}=(-3,0) e F_{2}=(3,0).
  • O que o problema pede:
    • Obter a equação da hipérbole que tem esses focos e é tangente à reta dada.

Passo 2

Interpretando os dados importantes (sem resolver ainda):
  • Os focos simétricos em (-3,0) e (3,0) mostram que o centro da hipérbole é a origem (0,0) e que o eixo transverso está sobre o eixo x.
    Logo a hipérbole está na forma canônica com eixo horizontal:
    \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
    onde a>0 e b>0 são parâmetros que precisamos determinar.
  • A distância do centro a cada foco é c. Como os focos estão em \pm 3 sobre o eixo x, temos
    c=3.
  • Para uma hipérbole horizontal vale a relação entre a, b e c:
    c^{2}=a^{2}+b^{2}.
    Iremos usar essa relação para reduzir o número de incógnitas.

Passo 3

Explicando a estratégia de tangência que vamos usar (por quê e como):
  • Se uma reta é tangente à hipérbole, então substituindo a expressão de y da reta na equação da hipérbole obtemos uma equação em x que tem uma única solução (interseção única), isto é, o polinômio resultante em x tem discriminante nulo.
    Essa é uma técnica prática e direta: impor discriminante igual a zero garante tangência.
  • Vamos escrever a reta na forma y= função de x e substituir em \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1. Como temos c^{2}=9, podemos eliminar b^{2} por b^{2}=9-a^{2}. Assim teremos uma única incógnita a^{2} e poderemos exigir o discriminante zero para encontrar a^{2}.

Passo 4

Colocar a reta na forma y= e substituir na equação:
  • A reta 2x-y-4=0
    y=2x-4.
  • Substituindo em \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 e usando b^{2}=9-a^{2}, obtemos
    \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{(2x-4)^{2}}{9-a^{2}}=1.

Passo 5

Transformar a equação em um polinômio quadrático em x:
  • Calculemos (2x-4)^{2}=4x^{2}-16x+16. Substituindo e multiplicando ambos os lados por a^{2}(9-a^{2}) para eliminar denominadores, obtemos (fazendo A=a^{2} para simplicidade de escrita):
    (9-A)x^{2}-A(4x^{2}-16x+16)=A(9-A).
  • Expandindo:
    (9-A)x^{2}-4A x^{2}+16A x-16A=A(9-A).
  • Reorganizando todos os termos para o lado esquerdo:
    (9-5A)x^{2}+16A x+(A^{2}-25A)=0.
    Esta é a equação quadrática em x obtida após substituição; os coeficientes dependem de A=a^{2}.

Passo 6

Impor condição de tangência (discriminante nulo) e montar a equação para A:
  • Para a quadrática p x^{2}+q x + r=0 a condição de tangência é discriminante D=q^{2}-4pr=0. Aqui p=9-5A, q=16A, r=A^{2}-25A.
  • Calculando o discriminante e impondo D=0:
    D=(16A)^{2}-4(9-5A)(A^{2}-25A)=0.

Passo 7

Resolver a equação resultante para A=a^{2}:
  • Expanda e simplifique:
    256A^{2}-4\bigl(-5A^{3}+134A^{2}-225A\bigr)=0.
    (Nota: a expansão de (9-5A)(A^{2}-25A) foi feita mostrando cada termo.)
  • Continuando a simplificação chega-se a
    20A^{3}-280A^{2}+900A=0.
  • Fatorando 20A (lembrando que A=a^{2}>0):
    20A\bigl(A^{2}-14A+45\bigr)=0.
  • Como A>0, descartamos A=0 da fatoração; restam as raízes da quadrática
    A^{2}-14A+45=0.
    O discriminante desta é 196-180=16, então
    A=\frac{14\pm 4}{2}.
    Assim A=9 ou A=5.

Passo 8

Escolher a solução fisicamente válida e obter b^{2}:
  • Se A=a^{2}=9 então b^{2}=9-A=0, o que daria uma hipérbole degenerada (não é admissível). Portanto descartamos A=9.
  • Fica A=a^{2}=5. Então
    b^{2}=9-a^{2}=9-5=4.

Passo 9

Escrever a equação final da hipérbole e comentar rapidamente a consistência:
  • Com a^{2}=5 e b^{2}=4 a hipérbole centrada na origem com eixo no eixo x tem equação
    \frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1.
  • Observação rápida (conforto): os focos calculados por c^{2}=a^{2}+b^{2}=5+4=9 dão c=3, compatível com os focos dados (\pm 3,0). A reta dada é tangente porque foi imposta essa condição no cálculo.

Resposta

\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1

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