Problema 41.
A reta definida por
é tangente a uma hipérbole, cujos focos estão nos pontos
Obtenha a equação da hipérbole.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
-
Dados fornecidos:
- A reta tangente é
. - Os focos da hipérbole são
e .
- A reta tangente é
-
O que o problema pede:
- Obter a equação da hipérbole que tem esses focos e é tangente à reta dada.
Passo 2
Interpretando os dados importantes (sem resolver ainda):
-
Os focos simétricos em
e mostram que o centro da hipérbole é a origem e que o eixo transverso está sobre o eixo .
Logo a hipérbole está na forma canônica com eixo horizontal:ondee são parâmetros que precisamos determinar. -
A distância do centro a cada foco é
. Como os focos estão em sobre o eixo , temos -
Para uma hipérbole horizontal vale a relação entre
, e : Iremos usar essa relação para reduzir o número de incógnitas.
Passo 3
Explicando a estratégia de tangência que vamos usar (por quê e como):
-
Se uma reta é tangente à hipérbole, então substituindo a expressão de
da reta na equação da hipérbole obtemos uma equação em que tem uma única solução (interseção única), isto é, o polinômio resultante em tem discriminante nulo.
Essa é uma técnica prática e direta: impor discriminante igual a zero garante tangência. -
Vamos escrever a reta na forma
função de e substituir em . Como temos , podemos eliminar por . Assim teremos uma única incógnita e poderemos exigir o discriminante zero para encontrar .
Passo 4
Colocar a reta na forma
e substituir na equação:
-
A reta
dá -
Substituindo em
e usando , obtemos
Passo 5
Transformar a equação em um polinômio quadrático em
:
-
Calculemos
. Substituindo e multiplicando ambos os lados por para eliminar denominadores, obtemos (fazendo para simplicidade de escrita): -
Expandindo:
-
Reorganizando todos os termos para o lado esquerdo:Esta é a equação quadrática em
obtida após substituição; os coeficientes dependem de .
Passo 6
Impor condição de tangência (discriminante nulo) e montar a equação para
:
-
Para a quadrática
a condição de tangência é discriminante . Aqui , , . -
Calculando o discriminante e impondo
:
Passo 7
Resolver a equação resultante para
:
-
Expanda e simplifique:(Nota: a expansão de
foi feita mostrando cada termo.) -
Continuando a simplificação chega-se a
-
Fatorando
(lembrando que ): -
Como
, descartamos da fatoração; restam as raízes da quadrática O discriminante desta é, então Assimou .
Passo 8
Escolher a solução fisicamente válida e obter
:
-
Se
então , o que daria uma hipérbole degenerada (não é admissível). Portanto descartamos . -
Fica
. Então
Passo 9
Escrever a equação final da hipérbole e comentar rapidamente a consistência:
-
Com
e a hipérbole centrada na origem com eixo no eixo tem equação -
Observação rápida (conforto): os focos calculados por
dão , compatível com os focos dados . A reta dada é tangente porque foi imposta essa condição no cálculo.