Problema 510. Propuesto por Miguel Amengual Covas, Cala Figuera, Mallorca.
Sean
y
, respectivamente, los puntos simétricos de los vértices
y
de un triángulo
respecto de los lados
y
. Sean
y
, respectivamente, las proyecciones ortogonales del centro
de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo
sobre los lados
y
. Demostrar que los baricentros de los triángulos
y
están alineados.
Sean
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos um triângulo
. Seja
o simétrico de
em relação à reta
(e analogamente
,
), e seja
o centro da circunferência dos nove pontos de
. Denotemos por
,
,
as projeções de
sobre
,
e
. O que queremos provar é que os três baricentros
estão alinhados. O conteúdo central envolve afinidades (para preservar colinearidade) e o fato de que num triângulo equilátero todos os centros notáveis coincidem.
Passo 2
Aplicamos uma afinidade que leve o triângulo
a um triângulo equilátero
. Sob essa afinidade:
- A reta
vai em , - o centro dos nove pontos
vai no centro do triângulo equilátero (pois num equilátero o centro da circunferência dos nove pontos coincide com o baricentro), - reflexões de vértices em lados passam a reflexões em lados de
, - projeções ortogonais de
passam a projeções ortogonais de .
Afinidades preservam colinearidade de pontos.
Passo 3
No triângulo equilátero
:
- O centro dos nove pontos e o baricentro coincidem em
. - A projeção ortogonal de
em cada lado é justamente o ponto médio desse lado, logo o triângulo das projeções é o triângulo medial de . O baricentro de é então . - A reflexão de cada vértice
em relação ao lado oposto é o ponto antipodal de na circunferência circunscrita. Esses três antipodais formam um triângulo cujo baricentro também é .
Portanto, sob a afinidade, os três baricentros imageados coincidem em
, logo são trivially colineares (coincidentes).
Passo 4
Voltando à configuração original, pela preservação de colinearidade sob afinidades, os baricentros
,
e
da figura inicial também estão alinhados.
Resposta
Os três baricentros estão alinhados, como queríamos demonstrar.