Problema 510. Propuesto por Miguel Amengual Covas, Cala Figuera, Mallorca.
Sean A^{\prime}, B^{\prime} y C^{\prime}, respectivamente, los puntos simétricos de los vértices A, B y C de un triángulo A B C respecto de los lados B C, C A y A B. Sean X, Y y Z, respectivamente, las proyecciones ortogonales del centro W de la circunferencia de los nueve puntos del triángulo A B C sobre los lados B C, C A y A B. Demostrar que los baricentros de los triángulos A B C, A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} y X Y Z están alineados.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo ABC. Seja A' o simétrico de A em relação à reta BC (e analogamente B', C'), e seja W o centro da circunferência dos nove pontos de ABC. Denotemos por X, Y, Z as projeções de W sobre BC, CA e AB. O que queremos provar é que os três baricentros
G_{ABC},\quad G_{A'B'C'},\quad G_{XYZ}
estão alinhados. O conteúdo central envolve afinidades (para preservar colinearidade) e o fato de que num triângulo equilátero todos os centros notáveis coincidem.

Passo 2

Aplicamos uma afinidade que leve o triângulo ABC a um triângulo equilátero A_1B_1C_1. Sob essa afinidade:
  1. A reta BC vai em B_1C_1,
  2. o centro dos nove pontos W vai no centro do triângulo equilátero G_1 (pois num equilátero o centro da circunferência dos nove pontos coincide com o baricentro),
  3. reflexões de vértices em lados passam a reflexões em lados de A_1B_1C_1,
  4. projeções ortogonais de W passam a projeções ortogonais de G_1.
Afinidades preservam colinearidade de pontos.

Passo 3

No triângulo equilátero A_1B_1C_1:
  • O centro dos nove pontos e o baricentro coincidem em G_1.
  • A projeção ortogonal de G_1 em cada lado é justamente o ponto médio desse lado, logo o triângulo X_1Y_1Z_1 das projeções é o triângulo medial de A_1B_1C_1. O baricentro de X_1Y_1Z_1 é então G_1.
  • A reflexão de cada vértice A_1 em relação ao lado oposto B_1C_1 é o ponto antipodal de A_1 na circunferência circunscrita. Esses três antipodais formam um triângulo cujo baricentro também é G_1.
Portanto, sob a afinidade, os três baricentros imageados coincidem em G_1, logo são trivially colineares (coincidentes).

Passo 4

Voltando à configuração original, pela preservação de colinearidade sob afinidades, os baricentros G_{ABC}, G_{A'B'C'} e G_{XYZ} da figura inicial também estão alinhados.

Resposta

Os três baricentros estão alinhados, como queríamos demonstrar.

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