(Questão 01)[2,0 pontos] Calcule a distância entre os planos \pi_{1}: X=(1,2,1)+\lambda(2,0,-1)+ \gamma(-1,3,2) e \pi_{2}: x+3 y+z+7=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre dois planos em \mathbb{R}^3:
\pi_{1} dada em forma paramétrica
X=(1,2,1)+\lambda\,(2,0,-1)+\gamma\,(-1,3,2)
e \pi_{2} dada em forma cartesiana
x+3y+z+7=0.
Conteúdo: geometria analítica de planos. Estratégia:
  1. Extrair o vetor normal \mathbf{n}_1 de \pi_{1} pelo produto vetorial dos vetores diretores.
  2. Extrair o vetor normal \mathbf{n}_2 de \pi_{2} pelos coeficientes da forma cartesiana.
  3. Verificar se \pi_{1} e \pi_{2} são paralelos (normais proporcionais).
  4. Se forem paralelos, calcular a distância de um ponto de \pi_{1} a \pi_{2}; caso contrário, a distância é zero (eles se intersectam).

Passo 2

Calcular o vetor normal de \pi_{1} como
\mathbf{n}_1=(2,0,-1)\times(-1,3,2).
Fazendo o determinante:
\mathbf{n}_1 =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2&0&-1\\\\ -1&3&2 \end{vmatrix} =3\,\mathbf{i}-3\,\mathbf{j}+6\,\mathbf{k},
isto é,
\mathbf{n}_1=(3,-3,6).

Passo 3

O vetor normal de \pi_{2} é imediatamente lido dos coeficientes de x,y,z em
x+3y+z+7=0,
logo
\mathbf{n}_2=(1,3,1).

Passo 4

Verificamos se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são proporcionais, ou seja, se existe \kappa tal que \mathbf{n}_1=\kappa\,\mathbf{n}_2.
Comparando componentes de (3,-3,6) e (1,3,1), não há \kappa que satisfaça todas as igualdades simultaneamente. Portanto os planos não são paralelos e se intersectam em uma reta.

Passo 5

Como dois planos não paralelos em \mathbb{R}^3 sempre se intersectam, a distância entre eles é
0.

Resposta

A distância entre \pi_{1} e \pi_{2} é 0.

Exercícios relacionados