e pede (a) verificar se T_{1} é injetiva e (b) verificar se T_{1} é sobrejetiva. Para isso vamos usar o conceito de posto (rank) de uma matriz, o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e a condição de surjetividade em termos de posto.
Passo 2
Calculemos o posto de A. Observando A em forma de escada, vemos que só as duas primeiras linhas são não-nulas. Portanto
Como \dim(\ker T_{1})>0, o núcleo é não trivial e T_{1} não é injetiva.
Passo 4
Uma transformação linear \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} é sobrejetiva se, e somente se, \mathrm{rank}(A)=\dim(\mathbb{R}^{3})=3. Aqui temos \mathrm{rank}(A)=2<3, logo a imagem de T_{1} é um subespaço próprio de \mathbb{R}^{3} e T_{1} não é sobrejetiva.
Resposta
(a) T_{1} não é injetiva, pois \dim(\ker T_{1})=2>0.
(b) T_{1} não é sobrejetiva, pois \mathrm{rank}(A)=2<3.