Seja T_{1}: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a T.L com matriz associada A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\\\ 0 & 1 & 5 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right].
(a) T_{1} é injetiva? (Justificar sua resposta)
(b) T_{\lambda} è sobrejetiva? (Justificar sua resposta)

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T_{1}:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3}
com matriz associada
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4\\\\ 0 & 1 & 5\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede (a) verificar se T_{1} é injetiva e (b) verificar se T_{1} é sobrejetiva. Para isso vamos usar o conceito de posto (rank) de uma matriz, o Teorema da Dimensão (rank–nullity) e a condição de surjetividade em termos de posto.

Passo 2

Calculemos o posto de A. Observando A em forma de escada, vemos que só as duas primeiras linhas são não-nulas. Portanto
\mathrm{rank}(A)=2.

Passo 3

Pela fórmula do Teorema da Dimensão,
\dim(\ker T_{1})=\dim(\mathbb{R}^{4})-\mathrm{rank}(A)=4-2=2.
Como \dim(\ker T_{1})>0, o núcleo é não trivial e T_{1} não é injetiva.

Passo 4

Uma transformação linear \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} é sobrejetiva se, e somente se, \mathrm{rank}(A)=\dim(\mathbb{R}^{3})=3. Aqui temos \mathrm{rank}(A)=2<3, logo a imagem de T_{1} é um subespaço próprio de \mathbb{R}^{3} e T_{1} não é sobrejetiva.

Resposta

(a) T_{1} não é injetiva, pois \dim(\ker T_{1})=2>0.
(b) T_{1} não é sobrejetiva, pois \mathrm{rank}(A)=2<3.

Exercícios relacionados