Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a T.L. com matriz associada A=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right].
(a) Encontrar os autovalores de T.
(b) Encontrar UNICAMENTE o autovetor do MENOR autovalor encontrado.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 cuja matriz em relação à base canônica é
A = \begin{pmatrix}1 & -1\\[0.3em]-1 & 1\end{pmatrix},
e pede (a) os autovalores de T e (b) somente o autovetor correspondente ao menor autovalor. Para resolver vamos montar o polinômio característico e depois resolver o sistema (A-\lambda I)v=0.]

Passo 2

O polinômio característico de A é dado por
\det(A-\lambda I) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\[0.3em]-1 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)^2 - (-1)\cdot(-1) = (1-\lambda)^2 - 1.
Expandindo,
(1-\lambda)^2 - 1 = 1 - 2\lambda + \lambda^2 - 1 = \lambda^2 - 2\lambda = \lambda(\lambda - 2).
Logo, os autovalores são as raízes \lambda=0 e \lambda=2.]

Passo 3

O menor autovalor é \lambda_{\min}=0\). Para achar seu autovetor, resolvemos \[(A - 0\cdot I)v = 0 \quad\Longrightarrow\quad A v = 0.
Escrevendo v=(x,y), o sistema fica
\begin{cases} x - y = 0,\\[0.3em] -\,x + y = 0. \end{cases}
Ambas as equações dão x=y\]. Portanto todo autovetor associado a \(\lambda=0 é da forma (t,t) com t\neq0. Podemos escolher t=1 para obter um representante simples.]

Resposta

(a) Os autovalores são \lambda_1=0 e \lambda_2=2.
(b) Um autovetor associado ao menor autovalor \lambda=0 é \bigl(1,1\bigr).

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