Problema 71 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias:
y=2 xx^2+1 (Serpentina de Newton)

Passo 1

O enunciado pede para construirmos o gráfico da função racional fracionária conhecida como serpentina de Newton:
y = 2xx^2 + 1
O que vamos precisar:
  • determinar domínio e interceptos;
  • estudar simetria;
  • encontrar assíntotas;
  • calcular derivada primeira para monotonia e extremos;
  • calcular derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão;
  • reunir essas informações para esboçar o gráfico.

Passo 2

Domínio e interceptos.
O denominador x^2+1 nunca é zero, então o domínio é
xinR
Intercepto em x=0:
y(0)=2cdot00^2+1=0,
logo o gráfico passa pela origem (0,0). Não há outro intercepto vertical.

Passo 3

Simetria e assíntotas.
Verificamos
f(-x)=2(-x)(-x)^2+1=-2xx^2+1=-f(x),
logo a função é ímpar (simétrica em relação à origem).
Para xtopminfty,
y=2xx^2+1sim2xx^2=2xto0,
então há assíntota horizontal y=0 em pminfty. Não há assíntota vertical.

Passo 4

Derivada primeira e extremos.
Calculamos
y'=ddxl(2xx^2+1r) =2(x^2+1)-2xcdot2x(x^2+1)^2 =2-2x^2(x^2+1)^2 =2,1-x^2(x^2+1)^2
Zeramos y'=0:
1-x^2=0implies x=pm1
Estudo de sinal de y':
  • Para |x|<1, 1-x^2>0 Rightarrow y'>0 (função crescente).
  • Para |x|>1, 1-x^2<0 Rightarrow y'<0 (função decrescente).
Logo:
  • x=-1 é ponto de mínimo local, com y(-1)=2(-1)(-1)^2+1=-22=-1
  • x=1 é ponto de máximo local, com y(1)=2cdot11^2+1=22=1

Passo 5

Derivada segunda e inflexão.
Calculamos
y''=-4x3x^2-1(x^2+1)^3
Zeramos y''=0:
x=0ou3x^2-1=0implies x=pm1raiz3
Analisando concavidade nota-se mudança de sinal em x=pm1/raiz3, portanto pontos de inflexão em
gl(pm1raiz3,,pmraiz32gr)

Passo 6

Esboço final.
Reunindo:
  • Domínio: R.
  • Assíntota horizontal: y=0.
  • Simetria ímpar (origem).
  • Intercepto: (0,0).
  • Mínimo local em (-1,-1).
  • Máximo local em (1,1).
  • Pontos de inflexão em l(pm1/raiz3,pmraiz3/2r).
  • Decrescente em (-infty,-1) e (1,infty); crescente em (-1,1).
Com isso, traçamos uma curva que vem de y=0 em -infty, desce até (-1,-1), sobe cruzando a origem, continua subindo até (1,1), e depois decresce para y=0 em +infty, com os pontos de inflexão nos valores indicados.

Resposta

O gráfico de
y = 2xx^2+1
é a serpentina de Newton: uma curva ímpar, sem assíntotas verticais, com assíntota horizontal y=0, mínimo local em (-1,-1), máximo local em (1,1) e pontos de inflexão em l(pmtfrac1raiz3,pmtfracraiz32r).

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