Problema 71 Construa os gráficos das funções racionais fracionárias:
(Serpentina de Newton)
Passo 1
O enunciado pede para construirmos o gráfico da função racional fracionária conhecida como serpentina de Newton:
O que vamos precisar:
- determinar domínio e interceptos;
- estudar simetria;
- encontrar assíntotas;
- calcular derivada primeira para monotonia e extremos;
- calcular derivada segunda para concavidade e pontos de inflexão;
- reunir essas informações para esboçar o gráfico.
Passo 2
Domínio e interceptos.
O denominador nunca é zero, então o domínio é
O denominador
Intercepto em
:
logo o gráfico passa pela origem
. Não há outro intercepto vertical.
Passo 3
Simetria e assíntotas.
Verificamos
Verificamos
logo a função é ímpar (simétrica em relação à origem).
Para ,
Para
então há assíntota horizontal
em
. Não há assíntota vertical.
Passo 4
Derivada primeira e extremos.
Calculamos
Calculamos
Zeramos
:
Estudo de sinal de
:
- Para
, (função crescente). - Para
, (função decrescente).
Logo:
-
é ponto de mínimo local, com -
é ponto de máximo local, com
Passo 5
Derivada segunda e inflexão.
Calculamos
Calculamos
Zeramos
:
Analisando concavidade nota-se mudança de sinal em
, portanto pontos de inflexão em
Passo 6
Esboço final.
Reunindo:
Reunindo:
- Domínio:
. - Assíntota horizontal:
. - Simetria ímpar (origem).
- Intercepto:
. - Mínimo local em
. - Máximo local em
. - Pontos de inflexão em
. - Decrescente em
e ; crescente em .
Com isso, traçamos uma curva que vem de
em
, desce até
, sobe cruzando a origem, continua subindo até
, e depois decresce para
em
, com os pontos de inflexão nos valores indicados.
Resposta
O gráfico de
é a serpentina de Newton: uma curva ímpar, sem assíntotas verticais, com assíntota horizontal
, mínimo local em
, máximo local em
e pontos de inflexão em
.