Problema 2 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz A = 1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1 e descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como o cálculo do polinômio característico e a resolução de sistemas lineares para achar os autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Notamos que lambda = 4 aparece duas vezes, então os autovalores são:
lambda1 = 4 (mu<iplicidade 2) e lambda2 = -2
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para lambda = 4 :
Resolvemos (A - 4I)x = 0 :
A - 4I = -3 & 3 & -3 0 & 0 & 0 -3 & 3 & -3
Simplificando as equações:
-3x + 3y - 3z = 0 Rightarrow x - y + z = 0
A segunda linha não traz informação, então temos uma equação com três incógnitas. Podemos expressar duas variáveis em termos da terceira. Por exemplo, deixamos y e z livres:
x = y - z
Assim, os autovetores são da forma:
x = y - z y z = y 1 1 0 + z -1 0 1
Portanto, uma base para os autovetores de lambda = 4 é:
v1 = 1 1 0 e v2 = -1 0 1
Para lambda = -2 :
Resolvemos (A + 2I)x = 0 :
A + 2I = 3 & 3 & -3 0 & 6 & 0 -3 & 3 & 3
Isso nos dá o sistema:
3x + 3y - 3z = 0 Rightarrow x + y - z = 0
6y = 0 Rightarrow y = 0
-3x + 3y + 3z = 0 Rightarrow -x + y + z = 0
Com y = 0 , as equações ficam:
x - z = 0 Rightarrow x = z
-x + z = 0 Rightarrow x = z
Então, os autovetores são da forma:
x = z 0 z = z 1 0 1
Portanto, uma base para os autovetores de lambda = -2 é:
v3 = 1 0 1
Passo 6
Para verificar se a matriz A é diagonalizável, precisamos conferir se o número de autovetores linearmente independentes é igual ao tamanho da matriz (neste caso, 3).
Encontramos:
Dois autovetores para lambda = 4 : v1 e v2
Um autovetor para lambda = -2 : v3
Como temos 3 autovetores linearmente independentes, a matriz A é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores da matriz A são lambda = 4 (com multiplicidade 2) e lambda = -2 . Os autovetores correspondentes são: