Problema 2 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes, e determine quais são diagonalizáveis.
A=(ccc1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz A = 1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & 1 e descobrir se ela é diagonalizável. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como o cálculo do polinômio característico e a resolução de sistemas lineares para achar os autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I :
A - lambda I = 1 - lambda & 3 & -3 0 & 4 - lambda & 0 -3 & 3 & 1 - lambda
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(4 - lambda)(1 - lambda) - 0 cdot 3] - 3[0 cdot (1 - lambda) - 0 cdot (-3)] -3[0 cdot 3 - (4 - lambda)(-3)]
Simplificando:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(4 - lambda)(1 - lambda) - 0 -3[0 + 3(4 - lambda)]
= (1 - lambda)^2 (4 - lambda) - 9(4 - lambda)
= (4 - lambda)(1 - lambda)^2 - 9(4 - lambda)
= (4 - lambda)[(1 - lambda)^2 - 9]
= (4 - lambda)[1 - 2lambda + lambda^2 - 9]
= (4 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 8)
Então, o polinômio característico é:
(4 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 8) = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação:
(4 - lambda)(lambda^2 - 2lambda - 8) = 0
Isso resulta em duas partes:
  1. 4 - lambda = 0 Rightarrow lambda = 4
  2. lambda^2 - 2lambda - 8 = 0
Resolvendo a segunda equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz4 + 322 = 2 pm raiz362 = 2 pm 62
Portanto:
lambda1 = 82 = 4 e lambda2 = -42 = -2
Notamos que lambda = 4 aparece duas vezes, então os autovalores são:
lambda1 = 4 (mu<iplicidade 2) e lambda2 = -2

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para lambda = 4 :
Resolvemos (A - 4I)x = 0 :
A - 4I = -3 & 3 & -3 0 & 0 & 0 -3 & 3 & -3
Simplificando as equações:
-3x + 3y - 3z = 0 Rightarrow x - y + z = 0
A segunda linha não traz informação, então temos uma equação com três incógnitas. Podemos expressar duas variáveis em termos da terceira. Por exemplo, deixamos y e z livres:
x = y - z
Assim, os autovetores são da forma:
x = y - z y z = y 1 1 0 + z -1 0 1
Portanto, uma base para os autovetores de lambda = 4 é:
v1 = 1 1 0 e v2 = -1 0 1
Para lambda = -2 :
Resolvemos (A + 2I)x = 0 :
A + 2I = 3 & 3 & -3 0 & 6 & 0 -3 & 3 & 3
Isso nos dá o sistema:
3x + 3y - 3z = 0 Rightarrow x + y - z = 0
6y = 0 Rightarrow y = 0
-3x + 3y + 3z = 0 Rightarrow -x + y + z = 0
Com y = 0 , as equações ficam:
x - z = 0 Rightarrow x = z
-x + z = 0 Rightarrow x = z
Então, os autovetores são da forma:
x = z 0 z = z 1 0 1
Portanto, uma base para os autovetores de lambda = -2 é:
v3 = 1 0 1

Passo 6

Para verificar se a matriz A é diagonalizável, precisamos conferir se o número de autovetores linearmente independentes é igual ao tamanho da matriz (neste caso, 3).
Encontramos:
  • Dois autovetores para lambda = 4 : v1 e v2
  • Um autovetor para lambda = -2 : v3
Como temos 3 autovetores linearmente independentes, a matriz A é diagonalizável.

Resposta

Os autovalores da matriz A são lambda = 4 (com multiplicidade 2) e lambda = -2 . Os autovetores correspondentes são:
  • Para lambda = 4 :
v1 = 1 1 0, v2 = -1 0 1
  • Para lambda = -2 :
v3 = 1 0 1
Além disso, a matriz A é diagonalizável.

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