Problema 1 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das transformações lineares dadas, e determine quais são diagonalizáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Além disso, precisamos verificar se essa transformação é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores, autovetores e critérios de diagonalização. Vamos precisar montar a matriz dessa transformação, encontrar seus autovalores resolvendo o polinômio característico e, depois, achar os autovetores correspondentes. Por fim, vamos checar se conseguimos uma base completa de autovetores para concluir sobre a diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear por uma matriz. A transformação pode ser escrita na forma de matriz como:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz A . Para isso, calculamos o polinômio característico, que é dado por det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Portanto, os autovalores são lambda = 1 e lambda = -1 . Observamos que lambda = 1 aparece duas vezes, mas vamos verificar se são distintos ou não na próxima etapa.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para lambda = 1 :
Resolvemos (A - I)v = 0 :
0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 1 & -1 x y z = 0 0 0
Isso resulta nas equações:
- y + z = 0 Rightarrow y = z
Como x é livre, os autovetores para lambda = 1 são da forma v = (x, y, y) , onde x e y são quaisquer números reais.
Para lambda = -1 :
Resolvemos (A + I)v = 0 :
2 & 0 & 0 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 x y z = 0 0 0
Isso resulta nas equações:
2x = 0 Rightarrow x = 0
y + z = 0 Rightarrow y = -z
Portanto, os autovetores para lambda = -1 são da forma v = (0, y, -y) , onde y é qualquer número real.
Passo 7
Agora, vamos verificar se a transformação T é diagonalizável. Para isso, precisamos ter uma base completa de autovetores, ou seja, precisamos que a soma das dimensões dos espaços próprios seja igual ao espaço original.
Temos:
Para lambda = 1 : os autovetores são da forma (x, y, y) , o que nos dá dois dimensões livre (pois x e y são livres).
Para lambda = -1 : os autovetores são da forma (0, y, -y) , que é uma única dimensão.
Como a soma das dimensões é 2 + 1 = 3 , que é igual à dimensão de R^3 , conseguimos uma base completa de autovetores. Portanto, a transformação T é diagonalizável.
Resposta
Os autovalores da transformação T são lambda = 1 e lambda = -1 .
Para lambda = 1 , os autovetores são todos os vetores da forma (x, y, y) , onde x e y são números reais.
Para lambda = -1 , os autovetores são todos os vetores da forma (0, y, -y) , onde y é um número real.
Além disso, como conseguimos uma base completa de autovetores, a transformação T é diagonalizável.