Seja o espaço vetorial M(2,2). Determinar seus subespaços gerados pelos vetores
v1=[cc-1 & 0 0 & 1], v2=[cc1 & -1 0 & 0] e v3=[ll0 & 1 1 & 0]

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial M(2,2) (todas as matrizes 2times2 com entradas em um corpo) e os vetores
v1=-1 & 0 0 & 1, v2=1 & -1 0 & 0, v3=0 & 1 1 & 0
O que queremos é o subespaço W=Spanv1,v2,v3, isto é, todos os combinados lineares desses vetores.

Passo 2

Por definição,
W=,a,v1+b,v2+c,v3mid a,b,cinK
Nosso objetivo é achar uma descrição mais explícita de W, determinar sua dimensão e exibir uma base.

Passo 3

Para ver se
Isso dá o sistema de equações nas entradas:
Da última equação vem e . Ou seja, só a combinação trivial anula, logo são LI.

Passo 4

Como temos três vetores LI em M(2,2), concluímos que
dim W=3

Passo 5

Vamos escrever o elemento genérico de . Seja
Denotando
temos as igualdades

Passo 6

Das igualdades anteriores segue
e então
Rearranjando,
Portanto é exatamente o conjunto das matrizes que satisfazem essa relação linear.

Passo 7

Concluímos que
é um subespaço de dimensão 3, cuja base natural é .

Resposta

O subespaço gerado por é
tem dimensão 3 e base .

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