Seja o espaço vetorial
. Determinar seus subespaços gerados pelos vetores
e
v3=[ll0 & 1 1 & 0]
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
M(2,2) (todas as matrizes
2times2 com entradas em um corpo) e os vetores
O que queremos é o subespaço
W=Spanv1,v2,v3 , isto é, todos os combinados lineares desses vetores.
Passo 2
Por definição,
Nosso objetivo é achar uma descrição mais explícita de
W , determinar sua dimensão e exibir uma base.
Passo 3
Para ver se
Isso dá o sistema de equações nas entradas:
Da última equação vem e
. Ou seja, só a combinação trivial anula, logo são LI.
Passo 4
Como temos três vetores LI em
M(2,2) , concluímos que
Passo 5
Vamos escrever o elemento genérico de
. Seja
Denotando
temos as igualdades
Passo 6
Das igualdades anteriores segue
e então
Rearranjando,
Portanto
é exatamente o conjunto das matrizes que satisfazem essa relação linear.
Passo 7
Concluímos que
é um subespaço de dimensão 3, cuja base natural é
.
Resposta
O subespaço gerado por
é
tem dimensão 3 e base
.