Um problema bastante conhecido é o seguinte (ver, por exemplo, Scientific American, novembro de 1964, p. 128): Tijolos uniformes são colocados um sobre o outro para que se obtenha um deslocamento horizontal máximo entre eles. Isto é obtido colocando-se o centro de gravidade do tijolo do topo diretamente acima da borda do tijolo abaixo dele, o centro de gravidade dos dois tijolos, do topo combinados diretamente acima da borda do tijolo abaixo (terceiro tijolo a partir do topo), e assim por diante. Justifique este critério para o máximo deslocamento; encontre o valor máximo de deslocamento para o equilíbrio de quatro tijolos.
Passo 1
Beleza, o problema é o famoso “overhang” de tijolos: empilhar 4 tijolos idênticos de modo a maximizar o deslocamento horizontal (overhang) do topo em relação à base. O conteúdo envolve estática (equilíbrio sem rotação) e centro de gravidade; para resolver a gente vai usar a condição de equilíbrio de torque e a fórmula do centro de massa (“center of gravity”) de sistemas de tijolos.
Passo 2
Teoria rápida: um corpo (ou conjunto de corpos) fica em equilíbrio estático se a projeção vertical do seu centro de gravidade estiver dentro da base de apoio. Para maximizar o deslocamento, a gente coloca essa projeção exatamente na borda do tijolo de baixo. Assim, cada vez que adicionamos um tijolo, colocamos o centro de gravidade de todo o monte de cima bem na beirada do tijolo novo.
Passo 3
Vamos mostrar que, ao empilhar o n-ésimo tijolo (contando de cima pra baixo), o acréscimo de overhang é
Rascunho da ideia: suponha que já temos n–1 tijolos empilhados e seu centro de gravidade fica na borda do tijolo n. Quando acrescentamos o tijolo n, o centro de massa do conjunto de n fica na média dos centros de cada tijolo. Para que esse novo COM fique sobre a borda do tijolo n+1, é fácil ver que o tijolo n precisa se deslocar mais
. É um processo recursivo que leva a
Passo 4
No caso de 4 tijolos, cada acréscimo é:
x₁ = 1/(2·1) = 1/2
x₂ = 1/(2·2) = 1/4
x₃ = 1/(2·3) = 1/6
x₄ = 1/(2·4) = 1/8
x₁ = 1/(2·1) = 1/2
x₂ = 1/(2·2) = 1/4
x₃ = 1/(2·3) = 1/6
x₄ = 1/(2·4) = 1/8
Passo 5
Somando tudo:
Resposta
O overhang máximo com 4 tijolos é