Problema 3 Em cada item abaixo, escreva o sistema linear na forma de uma Equação Matricial do tipo A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}, onde \boldsymbol{x} e \boldsymbol{b} são matrizes coluna.
\left\{\begin{array}{rlr}2 x_{1}-3 x_{2}+5 x_{3} & = & -4 \\\\ 9 x_{1}-x_{2}+x_{3} & = & 21 \\\ x_{1}+5 x_{2}+4 x_{3} & = & 6\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 2x_{1}-3x_{2}+5x_{3} = -4\\[4pt] 9x_{1}-x_{2}+x_{3} = 21\\[4pt] x_{1}+5x_{2}+4x_{3} = 6 \end{cases}
e pede para escrevê‑lo na forma matricial A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}, onde \boldsymbol{x} e \boldsymbol{b} são matrizes coluna.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Equação 1: }2x_{1}-3x_{2}+5x_{3}=-4,\\\ &\text{Equação 2: }9x_{1}-x_{2}+x_{3}=21,\\\ &\text{Equação 3: }x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=6. \end{aligned}çãçãçã]

Passo 2

O que significa escrever o sistema como A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}?
  • A é a matriz dos coeficientes: cada linha corresponde aos coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} numa equação.
  • \boldsymbol{x} é o vetor coluna dos incógnitas (a ordem importa: o primeiro elemento corresponde a x_{1}, o segundo a x_{2}, etc.).
  • \boldsymbol{b} é o vetor coluna dos termos independentes (o lado direito de cada equação).
    Na prova, sempre escolha uma ordem para as incógnitas (a mais natural aqui é x_{1},x_{2},x_{3}) e mantenha essa ordem em \boldsymbol{x} e nas colunas de A.

Passo 3

Construindo o vetor coluna das incógnitas \boldsymbol{x}. Escolhemos a ordem \,x_{1},x_{2},x_{3}\,. Assim
\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix}.
Explicação: cada entrada do vetor é uma incógnita; ao multiplicar A\boldsymbol{x} as colunas de A são combinadas com essas entradas.]

Passo 4

Construindo o vetor coluna dos termos independentes \boldsymbol{b}. Pegamos os lados direitos das equações na mesma ordem:
\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]21\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Obs.: eu peguei esses números diretamente do enunciado (os termos à direita de cada equação).]

Passo 5

Construindo a matriz dos coeficientes A. Cada linha da matriz contém os coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} da equação correspondente, na mesma ordem escolhida para \boldsymbol{x}.
  • Da equação 1: coeficientes são 2,\,-3,\,5.
  • Da equação 2: coeficientes são 9,\,-1,\,1.
  • Da equação 3: coeficientes são 1,\,5,\,4.
    Portanto
A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & 5\\[4pt] 9 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Montando a equação matricial final A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} e verificando que ela reproduz o sistema original. Escrevemos
\begin{pmatrix} 2 & -3 & 5\\[4pt] 9 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]21\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Para checar: a multiplicação matricial faz produto escalar entre cada linha de A e o vetor \boldsymbol{x}.
  • Linha 1 · \boldsymbol{x}: 2x_{1}+(-3)x_{2}+5x_{3}=2x_{1}-3x_{2}+5x_{3} (deverá ser -4).
  • Linha 2 · \boldsymbol{x}: 9x_{1}+(-1)x_{2}+1x_{3}=9x_{1}-x_{2}+x_{3} (deverá ser 21).
  • Linha 3 · \boldsymbol{x}: 1x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=x_{1}+5x_{2}+4x_{3} (deverá ser 6).
    Esses três produtos coincidem exatamente com as três equações originais — logo a forma matricial está correta.]

Passo 7

Dica rápida para a prova: sempre escreva primeiro \boldsymbol{x} (o vetor incógnita) com a ordem escolhida; depois forme A alinhando coeficientes por coluna conforme essa ordem; por fim escreva \boldsymbol{b} com os lados direitos na mesma ordem. Respira, repete essa receita e vira rotina!

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & -3 & 5\\[4pt] 9 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]21\\[4pt]6\end{pmatrix}]

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