Problema 3 Em cada item abaixo, escreva o sistema linear na forma de uma Equação Matricial do tipo A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}, onde \boldsymbol{x} e \boldsymbol{b} são matrizes coluna.
\left\{\begin{aligned} x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3} & =10 \\\\ 2 x_{3}-x_{1} & =7 \\\ x_{4}-3 x_{2}+x_{1} & =9\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema
\begin{cases} x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=10,\\[4pt] 2x_{3}-x_{1}=7,\\[4pt] x_{4}-3x_{2}+x_{1}=9, \end{cases}
e pede que eu escreva esse sistema na forma de uma Equação Matricial do tipo A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}, onde \boldsymbol{x} e \boldsymbol{b} devem ser matrizes coluna. As informações relevantes dadas são exatamente as três equações acima; a tarefa é organizar os coeficientes e termos independentes em matrizes compatíveis.]

Passo 2

Primeiro escolhemos uma ordem fixa para as incógnitas (isso é obrigatório para montar as colunas da matriz de coeficientes). Vou usar a ordem natural
\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix}.
Explicação rápida: cada coluna da matriz A corresponderá a uma dessas incógnitas, na ordem escolhida.]

Passo 3

Agora extraio os coeficientes da primeira equação x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=10. Na ordem (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) os coeficientes são
(1,\;3,\;2,\;0),
onde coloquei 0 em posição de x_{4} porque x_{4} não aparece na primeira equação.

Passo 4

Extraio os coeficientes da segunda equação 2x_{3}-x_{1}=7. Reescrevendo na ordem das incógnitas: -x_{1}+0\cdot x_{2}+2x_{3}+0\cdot x_{4}=7. Assim os coeficientes são
(-1,\;0,\;2,\;0).
Expliquei o 0 para x_{2} e x_{4} porque essas variáveis não aparecem na equação.

Passo 5

Extraio os coeficientes da terceira equação x_{4}-3x_{2}+x_{1}=9. Na ordem das incógnitas isso é x_{1}-3x_{2}+0\cdot x_{3}+1\cdot x_{4}=9. Então os coeficientes são
(1,\;-3,\;0,\;1).

Passo 6

Agora monto a matriz A juntando as linhas de coeficientes obtidas (cada linha corresponde a uma equação, na mesma ordem das equações dadas). Assim
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Aqui A é uma matriz 3\times 4 (3 linhas — equações — e 4 colunas — incógnitas).]

Passo 7

O vetor coluna dos termos independentes \boldsymbol{b} vem dos lados direitos das equações, na mesma ordem das equações:
\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}10\\[4pt]7\\[4pt]9\end{pmatrix}.
Checando dimensões: A é 3\times4, \boldsymbol{x} é 4\times1 e \boldsymbol{b} é 3\times1. A multiplicação A\boldsymbol{x} resulta em um vetor 3\times1, compatível com \boldsymbol{b}.]

Passo 8

Finalmente escrevo a equação matricial completa substituindo as matrizes:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\[4pt]7\\[4pt]9\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 1 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\\[4pt]x_{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10\\[4pt]7\\[4pt]9\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados