Problema 7 Cada item a seguir contém a equação de uma elipse. Determine, em cada caso, os vértices V_{1} e V_{2}, os focos F_{1} e F_{2} e a excentricidade da elipse dada.
\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{49}=1

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{49}=1
centrada na origem (0,0). Como 64>49, o eixo maior é horizontal, com semi-eixo maior a associado a x e semi-eixo menor b associado a y. Vamos determinar a, b, os vértices V_{1},V_{2}, os focos F_{1},F_{2} e a excentricidade e.

Passo 2

Comparando com a forma padrão \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, temos
a^{2}=64\quad\Rightarrow\quad a=8,
b^{2}=49\quad\Rightarrow\quad b=7.

Passo 3

Os vértices estão sobre o eixo maior (eixo x), a uma distância a do centro. Logo,
V_{1}=(-a,0)=(-8,0),
V_{2}=(a,0)=(8,0).

Passo 4

A distância focal c satisfaz c^{2}=a^{2}-b^{2}. Assim,
c^{2}=64-49=15 \quad\Rightarrow\quad c=\sqrt{15}.
Os focos ficam em (\pm c,0), ou seja,
F_{1}=(-\sqrt{15},0),
F_{2}=(\sqrt{15},0).

Passo 5

A excentricidade é definida por e=\frac{c}{a}. Portanto,
e=\frac{\sqrt{15}}{8}.

Resposta

V_{1}=(-8,0),\;V_{2}=(8,0)
F_{1}=(-\sqrt{15},0),\;F_{2}=(\sqrt{15},0)
e=\frac{\sqrt{15}}{8}

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