Problema 4 Sejam A=(1,0,-2), B=(2,-1,8) e C=(-4,5,6) os vértices de um triângulo. Determine a equação simétrica da reta suporte da mediana relativa ao lado B C.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo com vértices A=(1,0,-2), B=(2,-1,8) e C=(-4,5,6) e precisamos determinar a equação simétrica da reta suporte da mediana relativa ao lado BC. Vamos usar a definição de mediana (reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto), cálculo de ponto médio e equação de reta no espaço.

Passo 2

O ponto médio M do segmento BC é a média das coordenadas de B e C. Assim,
M \;=\;\Bigl(\frac{2+(-4)}{2},\;\frac{-1+5}{2},\;\frac{8+6}{2}\Bigr)\;=\;(-1,\,2,\,7).

Passo 3

O vetor diretor \vec v da reta que passa por A e M é dado por \vec v = M - A. Logo,
\vec v = (-1,2,7) - (1,0,-2) = (-2,\,2,\,9).

Passo 4

Usando o ponto A=(1,0,-2) e o vetor diretor \vec v=(-2,2,9), a forma simétrica da reta é
\frac{x - 1}{-2} \;=\;\frac{y - 0}{2} \;=\;\frac{z + 2}{9}.

Resposta

\frac{x - 1}{-2} \;=\;\frac{y}{2} \;=\;\frac{z + 2}{9}.

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