Problema 1 Considere o triângulo de vértices A=(0,1,2), B=(-1,0,1) e C=(2,-1,0). Calcule seu Perímetro, sua Área e os ângulos internos em cada vértice A, B e C.

Passo 1

O enunciado dá os vértices do triângulo em \mathbb{R}^3:
A=(0,1,2),\quad B=(-1,0,1),\quad C=(2,-1,0),
e pede o perímetro, a área e os ângulos internos em A,B,C.
Vamos usar geometria vetorial: distância para os lados (perímetro), produto vetorial para a área e produto escalar para os ângulos.

Passo 2

Primeiro determinamos os vetores de arestas e seus comprimentos.
\overrightarrow{AB}=B-A=(-1,-1,-1),\quad \overrightarrow{AC}=C-A=(2,-2,-2),\quad \overrightarrow{BC}=C-B=(3,-1,-1).
As normas são
\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3},\quad \|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-2)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3},
\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{3^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{11}.
Logo o perímetro P é
P=\|\overrightarrow{AB}\|+\|\overrightarrow{BC}\|+\|\overrightarrow{CA}\| =\sqrt{3}+\sqrt{11}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}+\sqrt{11}.

Passo 3

A área S do triângulo vale metade da norma do produto vetorial entre duas arestas que saem do mesmo vértice, por exemplo
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =( -1,-1,-1 )\times(2,-2,-2) =(0,\,-4,\,4).
A norma desse vetor é \sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}. Portanto
S=\frac12\,\big\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\big\| =\frac12\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}.

Passo 4

Para o ângulo em A usamos \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\cos A =\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}} {\|\overrightarrow{AB}\|\,\|\overrightarrow{AC}\|} =\frac{(-1)\cdot2+(-1)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-2)} {\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}} =\frac{2}{6}=\frac13,
logo \displaystyle A=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac13\bigr).
No vértice B usamos \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} e \overrightarrow{BC}:
\cos B =\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}} {\|\overrightarrow{BA}\|\,\|\overrightarrow{BC}\|} =\frac{1\cdot3+1\cdot(-1)+1\cdot(-1)}{\sqrt{3}\,\sqrt{11}} =\frac{1}{\sqrt{33}},
logo \displaystyle B=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac1{\sqrt{33}}\bigr).
No vértice C usamos \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC} e \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}:
\cos C =\frac{\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}} {\|\overrightarrow{CA}\|\,\|\overrightarrow{CB}\|} =\frac{(-2)\cdot(-3)+2\cdot1+2\cdot1}{2\sqrt{3}\,\sqrt{11}} =\frac{10}{2\sqrt{33}} =\frac{5}{\sqrt{33}},
logo \displaystyle C=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac5{\sqrt{33}}\bigr).

Resposta

Perímetro: P=3\sqrt{3}+\sqrt{11}.
Área: S=2\sqrt{2}.
Ângulos internos:
A=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac13\bigr),\quad B=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac1{\sqrt{33}}\bigr),\quad C=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac5{\sqrt{33}}\bigr).

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