Problema 5 Em cada item, determine a equação do plano
O plano \gamma contém as retas r:\left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x+2\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{6}=\frac{z-1}{10} \\\ y=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano \gamma que contenha as duas retas
r:\begin{cases}y=2x-3,\z=-x+2,\end{cases}
s:\begin{cases}\dfrac{x-1}{6}=\dfrac{z-1}{10},\y=-2.\end{cases}
Para isso, vamos parametrizar ambas as retas, obter pontos e vetores diretores, verificar se elas se intersectam ou são paralelas e, só então, decidir se existe um plano que as contenha.

Passo 2

Parametrizando r\): seja parâmetro \(t\), então \[\begin{cases} x=t,\\\ y=2t-3,\\\ z=-t+2. \end{cases}
Um ponto em r\] é \[A=(0,-3,2) (quando t=0) e seu vetor diretor é
\vec v_r=(1,2,-1).
Parametrizando s: seja parâmetro u, da igualdade \frac{x-1}{6}=\frac{z-1}{10}=u vem
\begin{cases} x=1+6u,\\\ y=-2,\\\ z=1+10u. \end{cases}
Um ponto em s\] é \(B=(1,-2,1) (quando u=0) e seu vetor diretor é
\vec v_s=(6,0,10).

Passo 3

Verificamos se \vec v_r e \vec v_s são paralelos. Como
\frac{1}{6}\neq\frac{2}{0}\quad\text{ou}\quad\frac{1}{6}\neq\frac{-1}{10},
eles não são múltiplos um do outro, logo as retas não são paralelas.

Passo 4

Tentamos encontrar um ponto em comum resolvendo
(t,\,2t-3,\, -t+2)\;=\;(1+6u,\,-2,\,1+10u).
Das coordenadas y vem 2t-3=-2\implies t=\tfrac12.
Então da coordenada x teríamos \tfrac12=1+6u\implies u=-\tfrac1{12}.
Mas na coordenada z isso daria
-z_r= -\tfrac12+2=\tfrac32,\quad z_s=1+10\bigl(-\tfrac1{12}\bigr)=1-\tfrac{5}{6}=\tfrac{1}{6},
que são diferentes. Logo não há ponto comum: as retas são reversas (skew).

Passo 5

Duas retas reversas não podem pertencer simultaneamente a nenhum mesmo plano. Portanto, não existe plano \gamma que contenha r e s.

Resposta

Não existe plano que contenha simultaneamente as retas r e s.

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