Seja k=2025 .\left(2^{18}-32\right). Se 2^{13}-1 é primo, determine a quantidade de divisores positivos de k.

Passo 1

O enunciado dá
k = 2025 \cdot \bigl(2^{18} - 32\bigr)
e pede a quantidade de divisores positivos de k. O conteúdo aqui é fatoração em primos e fórmula de contagem de divisores.

Passo 2

Primeiro fatoramos 2025. Note que 2025 = 45^2 e 45 = 3^2 \cdot 5, logo
2025 = (3^2\cdot5)^2 = 3^4 \cdot 5^2.

Passo 3

Agora analisamos 2^{18} - 32. Calculamos
2^{18} = 262144,
então
2^{18} - 32 = 262144 - 32 = 262112.
Reescrevendo 262144 = 32 \cdot 8192, temos
262112 = 262144 - 32 = 32\,(8192 - 1) = 2^5 \cdot (2^{13} - 1).
Como 2^{13}-1 é dado como primo, chamamos esse primo de 8191. Assim
2^{18} - 32 = 2^5 \cdot 8191.

Passo 4

Combinando as fatorações:
k = 2025 \cdot (2^{18}-32) = 3^4 \cdot 5^2 \cdot 2^5 \cdot 8191^1.
A fórmula para o número de divisores é, se
k = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_n^{a_n},
então
\tau(k) = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1).
Aqui (a_1,a_2,a_3,a_4)=(5,4,2,1) nos fatores 2^5,3^4,5^2,8191^1. Logo
\tau(k) = (5+1)\,(4+1)\,(2+1)\,(1+1) = 6\cdot5\cdot3\cdot2 = 180.

Resposta

180

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