Problema 4. Calcule os seguintes limites. Justifique cuidadosamente todos os passos.
(1.0 pt) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} x \cdot \frac{|x-1|}{1-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lateral
\lim_{x\to1^-} x\cdot\frac{\lvert x-1\rvert}{1-x}.
O conteúdo principal aqui é o tratamento de valor absoluto e a simplificação da expressão para x próximos de 1, mas menores que 1.

Passo 2

Quando x\to1^-, temos x<1. Nesse caso, o argumento de \lvert x-1\rvert é negativo, pois x-1<0. Logo,
\lvert x-1\rvert = -(x-1) = 1 - x.

Passo 3

Substituindo \lvert x-1\rvert = 1-x na expressão original obtemos, para x\neq1,
x\cdot\frac{\lvert x-1\rvert}{1-x} = x\cdot\frac{1-x}{1-x} = x\cdot1 = x.

Passo 4

A função f(x)=x é contínua em x=1. Portanto, o limite lateral coincide com o valor em 1:
\lim_{x\to1^-} x = 1.

Resposta

O limite vale 1.

Exercícios relacionados